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No.3
- 回答日時:
こんにちは。
問1
剰余類群Z【7】の元はふつう{0,1,2,3,4,5,6,7}としますが、絶対値が小さくなるように
Z【7】={0,±1,±2,±3}で考えることにします。そのとき
「定義1」
Z【7】係数のxの多項式 f(x)が可約であるとは次のように定義します。
f(x)が可約である
⇔ f(x)は1次以上の2つのZ【7】係数の多項式g(x)とh(x)との積に因数分解される
ここでg(x),h(x)ともに次数が1以上ということが大事です。
そこで
「定義2」
f(x)が既約
⇔f(x)は1次以上の2つのZ【7】係数の多項式の積に因数分解できない。
とします。
今問題はf(x)が2次式なのでもしx^2+ax+bが可約とすると次数の2=1+1なので2つの
1次式同士の積になるしかありません。つまり x^2+ax+b=(x-m)(x-n)になると
一般にしてよい。(厳密には x^2+ax+b=(px-r)(qx-s)として 係数比較 pq=1
そこで (px-r)(qx-s)=1×(px-r)(qx-s)=qp(px-r)(qx-s)
=(qpx-qr)(pqx-ps)=(x-qr)(x-ps) となるから )
これがポイントです。これより、
次の因数定理が成り立ちます。
「因数定理3」 mがZ【7】に属すとき
f(x)がx-mを因数にもつ ⇔ f(m)=0 (mod 7)
f(x)がx-mを因数にもたない ⇔ f(m)=0ではない (mod 7)
そこで a,bがZ【7】={0,±1,±2,±3}の要素を動くとき、x^2+ax+bの候補はa,bに
Z【7】の要素を代入していって x^2,x^2+x,x^2+2x,x^2+3x,
x^2-x,x^2-2x,x^2-3xがまずすぐ見つかります。
これらは可約です。実際x^2-3x=x(x-3)などと因数分解されます。次にx^2-1=(x+1)(x-1),
x^2-3≡x^2-4=(x+2)(x-2) なのでx^2-1,x^2-3は可約です。
しかし x^2+2は既約です。これは -2≡5としても x^2+2≡x^2-5 は因数分解
できそうにありません。
実際にそのことを示すには、f(x)=x^2+2 ・・・(I)とおいて上の因数定理を使います。
f(0)≡2,f(±1)=3,f(±2)=6≡-1,f(±3)=9+2=11≡4,はmod7で0でない。
Z【7】の元はこの0,±1,±2,±3の7個しかないのですから、≡0(mod 7)となる
因数定理を成り立たせるZ【7】の元はなく、既約であることが分かります。
次にf(x)=x^2+3x-3をみてみるとxに0,±1,±2,±3を代入して、
f(2)=4+6-3=7≡0(mod7) となるので1次因数 x-2を持ち可約です。実際
x^2+3x-3≡x^2-4x+4=(x-2)^2 (mod7)(なぜなら +3≡-4,-3≡4)
◎このようにa,bに0,±1,±2,±3を代入していった計7×7=49個の2次式について
因数定理を成り立たせるような x=0,±1,±2,±3を探せば可約な式がみつかります。
ただし、この方法は今考えている式が2次式なので、因数定理が使えますが、
たとえば4次式が可約かどうかについてはこれだけでは不足です。
4次式が可約でも「4次式=(2次の既約式)×(2次の既約式)」という場合が
あるからです。
◎以上のように(答え)としての一例は、自明でない可約式として
x^2+x+1,x^2+x+5,x^2-3x-3をあげておきます。
(なぜならx^2+x+1≡x^2+x-6=(x+3)(x-2),x^2+x+5≡x^2-6x+5=(x-1)(x-5),
x^2-3x-3≡x^2+4x+4=(x+2)^2 となるから)
既約式としては、x^2+2,x^2+2x-2,x^2+3x+1をあげておきます。なお7は素数
なので、係数環 Z【7】=Z/7Z は体(たい)です。
【問2】
まず157は素数です。よってZ【157】=Z/157Z は体です。したがって0以外の要素に対して
その逆元が存在します。まずZ【7】においては2の逆元は少し試せば 2×4=8≡1 (mod7)
なので2×4≡1(mod7) よって 2^(-1)=4とわかりますが、素数157は大きいので
こういうときは2つの数の「最大公約数(この場合は1となる)を求める
ユークリッドの互助法」を使います。
(1) 2と157について
157を2で割って 157=2×78+1(余りに1が出ればストップ) これより
2×78=-1+157 ⇔2×(-78)=1+(-157)
よって 2×(-78)≡1 (mod157) ⇔ 2×79≡1 (mod157) ・・・(ア)
(何故なら -78+157=79 だから) ゆえに2^(-1)≡79(mod157)(答え)
(2) 35と157について
157を35で割って 157=35×4+17 ・・・(ア) 35を17で割って
35=17×2+1 ・・・(イ)
よって (ア)から17=157-35×4 (157と35を生かしておく)これを(イ)に代入して
35=(157-35×4)×2+1 ⇔ 9×35=1+2×157 よって 9×35≡1 (mod157)
つまり 35^(-1)≡9 (mod 157) (答え)
(3) 107と157について
157=107+50 ・・・(ア) 107を50で割って 107=50×2+7 ・・・(イ)
50を7で割って 50=7×7+1 …(ウ) ( 1 が出たのでストップ)
(ア)より 50=157-107 ・・・(エ)。 (イ)に代入して 107=(157-107)×2+7 ・・・(オ)
(オ)より 7=107×3-157×2・・・(カ)。 (エ)(カ)を(ウ)に代入して
157-107=7×(107×3-157×2)+1 ・・・(キ) ゆえに
-22×107+15×157=1 ・・・(※) よって -22×107=1-15×157
ゆえに -22×107≡1(mod 157) つまり107^(-1)≡-22
-22≡-22+157=135 なので 107^(-1)≡135 (mod 157) (答え)
No.2
- 回答日時:
既約、可約、逆元の意味をきちんと理解すればできるのでは?
特に逆元の定義はx*x^(-1)=1でしょ?
Z【157】(=GF(157))が何を表すかを書いてくれないと、見る人が何を意味しているかを理解するまでに時間が掛かります。おそらく157を法とした体でいいのですかね。
例えば、
2*2^(-1)=1=157n+1でいいですか?
157*1+1=158=2*79だから、2^(-1)=79とかでいいのでは?
157*3+1=472=2*236=2*79からも確認できます。
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