ベクトル 面積

面積1の△OABがある
実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすときOP↑=sOA↑+tOB↑で表される点Pが動く範囲全体の面積はいくつか
また「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすとき」という部分が「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2と2s+t≦2を満たすとき」となったときの点Pが動く範囲全体の面積はいくつか


はじめから解き方がわからないので教えてください

No.16 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/01 00:00

ANo.15です。

＞面積＝∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘ
積分範囲も関数もこれで合っています。
ANo.4の回答も合わせてみて、どの部分の面積を求めているのかよく確認して下さい。
（計算して、ANo.4と同じ答えが得られることは確認済みです。）

この回答への補足

本当は0から2/3の範囲ではx軸とy軸と(-1/2)ｘ＋１で囲まれた面積を出すということですか？

補足日時：2012/07/01 09:12

No.15 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 23:20

ANo.14です。

＞∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘの∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ２つの＞＋１｝ｄｘでは－２ｘ＋２とx軸とy軸で挟まれた部分も含んでしまいませんか？
積分では、直線とｘ軸で囲まれた部分の面積を求めるので、ｘ軸に挟まれています。また、積分範囲０～2/3なので、ｙ軸にも挟まれています。
積分の面積計算について、復習した方がいいと思います。

積分にまだ不安があったら、ANo.4のように図形として解く方がずっと簡単です。

この回答への補足

y軸と2/3の間に、三角形と四角形がありますよね
この四角形の面積が∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘの∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ２つの＞＋１｝ｄｘでは入ってしまいませんか？ということなのですが伝わってたでしょうか？
x=0からx=2/3の間の三角形だけの面積は、その範囲でyが大きい方から小さい方を引いたものをx=0からx=2/3で積分するのではないですか？

補足日時：2012/06/30 23:44

No.14 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 22:19

ANo.12です。

＞グラフが汚くて見誤ってしまいました
直線の２本のグラフですが、描き方をきちんと理解しておいた方がいいと思います。
グラフがきちんと描ければ、図形的に解くこともできるし、積分範囲も確認しやすくなります。

＞面積＝∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘ
続きをやってみます。
＝［(-1/4)ｘ^2＋ｘ］［０～2/3］＋［－ｘ^2＋２ｘ］［2/3～１］
＝［｛(-1/4)×4/9＋2/3｝－０］＋［（－１＋２×１）－（－4/9＋２×2/3）］
＝（-1/9＋2/3）＋（１＋4/9－4/3）
のように計算していきます。確認してみて下さい。

手元に参考書などあったら、積分の計算手順を確認して下さい。

この回答への補足

グラフはしっかり書くようにします
ありがとうございます

∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘの∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘでは－２ｘ＋２とx軸とy軸で挟まれた部分も含んでしまいませんか？

補足日時：2012/06/30 22:46

No.13 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/06/30 21:45

>反論したいのではなくわからないのを質問してるんですよ

ちがうちがう
私が「あなたは計算してないでしょ，考えてないでしょ」
といったことに対して
『反論したい』でしょうということ．

>先生に聞きたいですが聞く先生がいないのでネットを使わせて頂いてます

そんなことどこかに書いてます？
何も書かれてなければ
もっとも一般的な状況を想定して回答がなされるのが当然だと思いませんか？

あなたのことを誰もしらない
文字しか見えないという状況を理解しましょうね．

閑話休題

計算してみた？
実際に紙に書いて
手を動かせば見えると思う

この回答への補足

反論したいとはそういうことでしたか
すみません

＞そんなことどこかに書いてます？
先生に聞きなさい と言われたので、それに対する補足として 聞けない状況です と書いたので他のところには書いてません

＞あなたのことを誰もしらない
文字しか見えないという状況を理解しましょうね．
どういうことですか？こちらとしては先生に聞きなさいというアドバイスに補足しただけのつもりだったのですが、なにか理解してないように感じる部位がありましたでしょうか？

補足日時：2012/06/30 21:58

No.12 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 21:11

ANo.4～です。

＞グラフと実際の△OABの面積比が1:2ということであってますか？
＞(1)、つまりｓ＋２ｔ＝２とｘ軸ｙ軸で囲まれた面積は1で面積比より2とでたのですが、
それでいいと思います。

＞(2)、つまりｓ＋２ｔ＝２，２ｓ＋ｔ＝２とｘ軸ｙ軸で囲まれた面積は0～1と1～2が囲まれていて
＞積分を使ってみると3/2となってしまいました
＞ちなみに0から1の(-3s/2)+1の積分が1/4で1から2の(3s/2)-1の積分が5/4でした
＞どうすればよいでしょうか？
ｓ＋２ｔ＝２から、ｙ＝(-1/2)ｘ＋１，２ｓ＋ｔ＝２から、ｙ＝－２ｘ＋２
２つの直線の交点のｘ座標は、ｘ＝2/3なので、積分範囲は、０～2/3　と　2/3～１です。
面積＝∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘ
を計算してみて下さい。（グラフでも積分範囲など確認して下さい。）

（ちなみに、積分を使わないやり方がANo.4にあります。）

この回答への補足

すみません
グラフが汚くて見誤ってしまいました

＞面積＝∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘ
x軸、y軸(x=0)、ｙ＝(-1/2)ｘ＋１、ｙ＝－２ｘ＋２で囲まれた面積だから
0から2/3のとき-{(-1/2)ｘ＋１}+{－２ｘ＋２}で2/3から1のとき{(-1/2)ｘ＋１}-{－２ｘ＋２}じゃないのでしょうか？

補足日時：2012/06/30 21:50

No.11 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/06/30 21:04

まずは自分で考えなさいよ．

＃反論したいかもしれないが，
＃文字を見る限り自分で計算してるとはまったく思えない

こういう問題は，試験の解答とかはともかく
理解しようと思ったら，ある意味卑怯な手でやってみるのはものすごく重要．
いわゆる「実験」をやってみること
こういう実験をいっぱいやれば
いろいろな本質が見えてくることが多い

>面積1の△OABがある

っていってるんだから，逆にいえば，
面積が1の三角形であればいいってことでしょ，とりあえず
＃とりあえずっていってるのは「場合わけの可能性」が
＃現段階では否定できないから


ということは，面積1の三角形をでっちあげる．
それで，sOA+tOBとかいってて，sとかtって変数があるんだから
中学みたいに「幾何的」にやるよりは
高校みたいに座標と計算でやるほうがよさそうだから・・・・

A(2,0)，B(0,1)ってかってにきめちゃう
Oはもちろん原点(0,0)

そうすりゃ，OABは直角三角形で面積1
Pってのは(2s,t)でしょ．
そして，s+2t<=2, s,t>=0っていうわけ
Pの軌跡をもとめるのは
x=2s, y=tとおけば s=x/2, t=yなんだから
s+2t<=2に代入して
(x/2)+2y<=2
x+4y<=4 で x,y>=0
ここまでくれば
もう図形（領域）をかけるでしょ？
面積は
底辺4，高さ1の直角三角形（原点，(0,1)，(4,0)が頂点）
よって
面積 2

もう半分のほうも同様に描いて共通部分を考えれば 4/3 となる．

もし，上の領域のことかが分からないなら
もっと基礎をしっかりするしかない

=====================
No.1で「解けてもいい」といったのは
知識的には数IIB（当然数IAも含む）があれば
新規な知識は不要だという意味．

実際問題，OAとOBで三角形ができるということは
OAベクトルとOBベクトルで
「斜めの座標」が定義できて
その座標での座標(s,t)の点は
sOA+tOB
と表現できて，s+2t<=2というのは
その斜め座標の上での「領域」の式でることを意味する．

この斜めの座標ということを理解できれば
じつは
最初のほうの問題は
(1*2)/2 * 2 = 2
という計算だけでできる
(1*2)/2の方は斜め座標で(0,0),(0,1),(2,0)の点でできる三角形の「面積」
残りの *2 は「斜め座標」による補正ということ
＃これは実は小学校の算数でも中学の「相似」でも習ってる．
＃高さ一定で幅2倍になると三角形の面積は何倍？とかいう話の応用

こういうベクトルの本質的な面は
いっぱい計算実験を繰り返さないと身につかない

・・・といってもたぶん，わかんないと思う
だから「先生に直接聞け」ということになる
図形を目の前で順番に描かれればすぐにわかんだよ

この回答への補足

反論したいのではなくわからないのを質問してるんですよ
計算しようにも考えて何がわからないのかが分かる程度なので

先生に聞きたいですが聞く先生がいないのでネットを使わせて頂いてます

補足日時：2012/06/30 21:33

No.10 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 20:12

ANo.9です。

＞No.5では方程式s+2t=2のグラフを書くという回答を頂いたのですが本当はs+t≦1の不等式を
＞解くということですか？
s+t≦1は、△ＯＡＢの場合です。後は、
ｓ＋２ｔ＝２とｘ軸ｙ軸で囲まれた面積
ｓ＋２ｔ＝２，２ｓ＋ｔ＝２とｘ軸ｙ軸で囲まれた面積
の２通りを求めます。（求め方は、ANo.4も参考にして下さい。）

＞三本に挟まれたところの面積は1/2でした
それが△ＯＡＢの面積です。

この回答への補足

＞それが△ＯＡＢの面積です。

グラフと実際の△OABの面積比が1:2ということであってますか？

(1)、つまりｓ＋２ｔ＝２とｘ軸ｙ軸で囲まれた面積は1で面積比より2とでたのですが、(2)、つまりｓ＋２ｔ＝２，２ｓ＋ｔ＝２とｘ軸ｙ軸で囲まれた面積は0～1と1～2が囲まれていて積分を使ってみると3/2となってしまいました
ちなみに0から1の(-3s/2)+1の積分が1/4で1から2の(3s/2)-1の積分が5/4でした
どうすればよいでしょうか？

補足日時：2012/06/30 20:35

No.9 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 19:32

ANo.8です。

＞＞今の問題では、グラフがある領域を表す場合でなければ、△ＯＡＢの面積は求められません。
＞それができるのはどの場合ですか？
＞全く検討がつきません できれば教えてください
（１）は、グラフが描けません。
（２）は、グラフは、直線のみです。
（３）の場合です。ｓ＋ｔ＝１（ｘ＋ｙ＝１）のグラフとｘ軸ｙ軸で囲まれた部分です。

とにかくグラフを描いて面積を求めてみて下さい。
（これ以降は、中学校程度の知識でもできます。）
回答を読むより、自分で手を動かして計算してみる方がよく分かると思います。

この回答への補足

No.5では方程式s+2t=2のグラフを書くという回答を頂いたのですが本当はs+t≦1の不等式を解くということですか？

三本に挟まれたところの面積は1/2でした

補足日時：2012/06/30 19:46

No.8 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 18:24

ANo.7です。

　書き方が悪かったみたいです。済みません。
最初の２行（ｓ＋ｔ＝１が直線のところ）を除いてもう一度読んで頂ければ、少しは意味が分かると思います。
今まで書いたことを少しまとめると、
（１）△OABでOが始点のとき△OAB内に点PがあるときOP↑=sOA↑+tOB↑
ｓ，ｔに実数であるという以外に、特別条件が付かないときは、ただＯ，Ａ，Ｂ，Ｐが同じ平面上にあることを表します。
（２）OP↑=sOA↑+tOB↑で、ｓ＋ｔ＝１のときは、点Ｐが直線ＡＢ上にあることを表します。
この式は、ｓ＋ｔ＝１の条件で使われることが多いです。（その意味の通常です。）
（３）OP↑=sOA↑+tOB↑で、「ｓ＋ｔ≦１（ｓ≧０，ｔ≧０）」の条件で、点Ｐが△ＯＡＢの辺上と内部にあることを表します。

今の問題では、グラフがある領域を表す場合でなければ、△ＯＡＢの面積は求められません。
それができるのはどの場合ですか？

この回答への補足

たくさんの質問への解答ありがとうございました
ただ、No.4の
＞このとき、△ＯＡＢの面積は、｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝１だから、（1/2)×１×１＝1/2
までのわからないところの質問だけなのでまだその後についても質問するかもしれません

＞今の問題では、グラフがある領域を表す場合でなければ、△ＯＡＢの面積は求められません。
それができるのはどの場合ですか？

全く検討がつきません できれば教えてください

補足日時：2012/06/30 18:55

No.7 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 17:21

ＡANo.5　です。

＞＞OP↑=sOA↑+tOB↑が与えられたとき、通常は、ｓ＋ｔ＝１で、Ｐが直線ＡＢ上にあることを表します。
＞△OABでOが始点のとき△OAB内に点PがあるときOP↑=sOA↑+tOB↑ではないんですか？
そうですが、今の問題の場合は、ただＯ，Ａ，Ｂ，Ｐが同じ平面上にあることを表しているのではないです。面積が求められる、ある限られた範囲を表しています。
問題の条件が、「△ＯＡＢの面積＝１」なので、
△ＯＡＢの辺上と内部に点Ｐがあることを表す、「ｓ＋ｔ≦１（ｓ≧０，ｔ≧０）」と考えます。

この回答への補足

＞通常は、
と書いてあるのに
＞Ｐが直線ＡＢ上にあることを表します。
というのは今回の問題の場合の話なんですか？

今回の問題の場合の話だとした場合
＞面積が求められる、ある限られた範囲を表しています。
のある限られた範囲が直線AB上にあるのですか？だとしたら何故直線AB上にあることが分かるのでしょうか？

＞△ＯＡＢの辺上と内部に点Ｐがあることを表す、「ｓ＋ｔ≦１（ｓ≧０，ｔ≧０）」
AB線上にあったらOP↑=1×OA↑+tOB↑(1≧t＞0)となってs+tが1以上になりませんか？


すみません 疑問ばかりですが解答お願いします

補足日時：2012/06/30 17:35