ベクトル 面積

面積1の△OABがある
実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすときOP↑=sOA↑+tOB↑で表される点Pが動く範囲全体の面積はいくつか
また「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすとき」という部分が「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2と2s+t≦2を満たすとき」となったときの点Pが動く範囲全体の面積はいくつか


はじめから解き方がわからないので教えてください

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/30 14:40

ベクトルを習ったなら、一次変換は知っていますね？

点 (s,t) に対してベクトル OP↑ を対応させる写像は、
一次変換になっています。(確認してみてください！)
一次変換では、図形の面積は定数倍されます。
(s,t) が動く平面上の単位正方形 0≦s≦1, 0≦t≦1 が
O,A,B を三頂点とする平行四辺形に移ることを見れば、
この一次変換が、面積を(平行四辺形OABXの面積)倍にする
ことが判ります。後は、(s,t) が描く各図形の面積を求めて、
(平行四辺形OABXの面積)すなわち(△OABの面積の２倍)を
掛けておけば完了です。

この回答への補足

すみません
高校の数Ｂなので一次変換やベクトルの写像とかは習っていません
先に言うべきでした

補足日時：2012/06/30 16:19

No.5 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 14:22

ＡNo.4です。

　補足について

＞＞ｓをｘ，ｔをｙとみたグラフ（直線）を描き
＞方程式s+2t=2のグラフですか？
そうです。

＞＞ｓ≧０，ｔ≧０で、ｓ＋ｔ≦１の範囲を点Ｐが動くときの△ＯＡＢの面積を１と見なす。
＞何故見なせるのですか？
OP↑=sOA↑+tOB↑が与えられたとき、通常は、ｓ＋ｔ＝１で、Ｐが直線ＡＢ上にあることを表します。
問題は、Ｐの動く範囲が面積で表される（△ＯＡＢの面積＝１）ということなので、
ｓ＋ｔ≦１（ｓ≧０，ｔ≧０）と考えられます。

＞＞このとき、△ＯＡＢの面積は、｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝１だから、（1/2)×１×１＝1/2
＞面積を1と見なしたのに面積が1/2とはどういうことですか？
グラフに図示することによって、求められる実際の面積は１／２です。
問題は、△ＡＢＣの面積を１と見たとき、他の面積は、どのようになるかということなので、
１／２：実際の面積＝１：求める面積　と比を考えることで求めます。
（ANo.4の回答よりも、この方が分かりやすいかもしれません。）

どうでしょうか？

この回答への補足

＞OP↑=sOA↑+tOB↑が与えられたとき、通常は、ｓ＋ｔ＝１で、Ｐが直線ＡＢ上にあることを表します。

△OABでOが始点のとき△OAB内に点PがあるときOP↑=sOA↑+tOB↑ではないんですか？

＞Ｐの動く範囲が面積で表される（△ＯＡＢの面積＝１）ということなので、
ｓ＋ｔ≦１（ｓ≧０，ｔ≧０）と考えられます。

Pの動く範囲が面積で表されると何故ｓ＋ｔ≦１と考えられるんですか？

補足日時：2012/06/30 16:14

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/30 11:45

グラフを描いて面積を求めるのがいいと思います。

ｓをｘ，ｔをｙとみたグラフ（直線）を描き、そのグラフと、ｘ軸，ｙ軸に囲まれた部分の
面積を求めて、△ＯＡＢとの比を出します。
＞面積1の△OABがある
ｓ≧０，ｔ≧０で、ｓ＋ｔ≦１の範囲を点Ｐが動くときの△ＯＡＢの面積を１と見なす。
このとき、△ＯＡＢの面積は、｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝１だから、（1/2)×１×１＝1/2　

＞実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすときOP↑=sOA↑+tOB↑で表される
＞点Pが動く範囲全体の面積はいくつか
グラフより、｜ＯＡ｜＝２，｜ＯＢ｜＝１だから、このときの面積＝(1/2)×２×１＝１
△ＯＡＢ＝１のときの面積をＳ1とすると、△ＯＡＢ：Ｓ1＝1/2：１＝１：２から、　
よって、Ｓ1＝２△ＯＡＢ＝２×１＝２

＞また「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすとき」という部分が
＞「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2と2s+t≦2を満たすとき」となったときの
＞点Pが動く範囲全体の面積はいくつか
ｓ＋２ｔ＝２と２ｓ＋ｔ＝２の交点の座標は、連立で解くと（s,t）＝(2/3，2/3）
グラフを描くと、ｘ＝2/3のところで、台形と直角三角形に分かれる。
このとき、面積＝(1/2)・（１+2/3）・(2/3)＋(1/2)・(2/3)・(1/3)＝(5/9)＋(1/9)＝2/3
△ＯＡＢ＝１のときの面積をＳ2とすると、△ＯＡＢ：Ｓ2＝1/2：2/3＝３：４から、　
よって、Ｓ2＝(4/3)△ＯＡＢ＝(4/3)×１＝４／３

どうでしょうか？　図を描いて計算を確認してみて下さい。

この回答への補足

＞ｓをｘ，ｔをｙとみたグラフ（直線）を描き

方程式s+2t=2のグラフですか？

＞ｓ≧０，ｔ≧０で、ｓ＋ｔ≦１の範囲を点Ｐが動くときの△ＯＡＢの面積を１と見なす。

何故見なせるのですか？

＞このとき、△ＯＡＢの面積は、｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝１だから、（1/2)×１×１＝1/2

面積を1と見なしたのに面積が1/2とはどういうことですか？


質問が多いですができたら教えてください

補足日時：2012/06/30 12:24

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/30 11:34

No. 2 です。

三角形OABの面積が与えられているのですよね。
忘れてました。

三角形OABの面積 = |a X b| / 2 =1。これを No.2 の答えに代入すると
答えは 2, 4/3

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/30 11:30

Oを基準とするベクトルOA, OB　を a, b とすると

s = 2u とすると
u + t ≦ 1 このとき OP = u・2a + t・b
つまり、Pの範囲はベクトル2a, bが作る３角形なので
面積 = |2a X b| / 2 = |a X b| (X は外積)

s+2t=2と2s+t=2 の交点は s = 2/3, t = 2/3 この点を G とすると
ベクトルOG = (2/3)a + (2/3)b = g

s+2t≦2と2s+t≦2 を満たす領域は a と g、b と g がなす２個の三角形なので
合計の面積は

|a x g|/2 + |b X g| / 2 = (1/3)|a x b| + (1/3)|a x b| = (2/3)|a x b|

この回答への補足

すいません 知ってる範囲を書くべきなんですね
数IIＢまでしかわからないのでできたら外積を使わない解き方を教えてください

補足日時：2012/06/30 11:48

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/06/30 11:20

置換積分を知らないで

微分方程式を扱おうとするくらいだから
あなたが何を知ってるのかを明確にしないと
効率が悪いです．

答えは
最初の方は 2
次の方は　4/3
だと思う．

予備知識としてはベクトルと内分・外分点の式の理解が必須．
数学IIだっけ，ベクトルをやるのって．
内分・外分の式が実は「直線の方程式」と関係してるという見方を知ってると
一瞬で終わるけど，掲示板でこれを伝えるのは困難だから
学校で先生に聞けばいい．

マークシートで答えだけだせばいいってなら
A(2,0)，B(0,1)とでもやって
絵を描けば分かると思う．
記述式でも実は本質的には大差ない．

ちなみに
OAとOBのベクトルがあるとき
sOA+tOB (s+t=1)の終点が描く図形がわかるのであれば
この問題は解けてもいい．
このsとtが実は「座標」に相当するというのが重要．

この回答への補足

すみません
知ってる範囲を書かなきゃいけないんですね
一応数IIＢまでならわかります

この問題は解けてもいい．
とはどういうことですか？

補足日時：2012/06/30 11:47