定積分における符号付き面積

前の質問に関連した質問です。
定積分の値が負になる時これを『符号付き面積』と呼ぶのでしょうか。
例えば∮(1→3)(-x^2)dx=-8となって負の値になります。

しかし教科書にa≦x≦bの範囲で、y=f(x)とx軸で挟まれる図形の面積はf(x)≦0の場合、y=f(x)はx軸の下側にあるので面積は∮の前にマイナスを付けてS=- ∮(a→b)f(x)dxと表されるとあります。
これを上のy=-x^2, (積分区間1~3)の例で試すと、S=-∮(1→3)(-x^2)dx=-(-8)=8となり正の値になります。
ここで混乱してしまったのですが、つまり定積分によって面積を求める場合は値は必ず正になりますが、普通に定積分する際には値が負の値をとる事もあり、これを『符号付き面積』とも呼ぶという事でしょうか。

一つ前の質問で挙げた、|∮(a→b)f(x)dx|≦∮(a→b)|f(x)|dxという不等式についてですが、左辺についてこのf(x)がプラスの区間とマイナスの区間を含む場合、この不等式においてはそれぞれの区間を普通に積分するという意味で、各区間の面積を求めて合計する訳ではないですよね。
もしそうなら、f(x)がマイナスの区間の面積も正の値で出てくるはずなので、両辺がイコールになると思うのですが。

自分の勘違いしている所もありそうですので、その場合ご指摘ください。

No.2 ベストアンサー 回答者： akinomyoga 回答日時： 2014/09/07 02:26

補足

　面積 ＝ | 定積分 |
と書きましたが、これもちょっとよくなかったです。正確には、
　(正の部分と負の部分の差し引きの符号無しの面積) = | 定積分 |
です。定積分を普通にすると正の面積と負の面積が互いに打ち消されてしまうので、全部積分し終わってから絶対値を取っても、"(素朴に考える)面積"= (正の面積) + (負の面積) にはなりません。つまり、
　(素朴な)面積 ＝ (正の面積) + (負の面積)
　　＝ |定積分^+| + |定積分^-|
　　＝ 定積分^+ - 定積分^-、
　ただし、定積分^+/定積分^- はそれぞれ正の部分の定積分、負の部分の定積分
という事です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
正負の部分を差し引いた面積と、正・負の部分それぞれの絶対値をとって合わせた素朴な面積の違いが良く分かりました!!!

お礼日時：2014/09/10 11:05

No.4 回答者： berokanda 回答日時： 2014/09/07 22:50

まず、「∮」は周回積分の記号です。

そのあと「(1→3)」などという記号が見られますが、
これは積分区間ですか？そうであれば周回積分
の記号を使うべきではないです。

次に、
a>bのとき∫(a→b)|f(x)|dx=-∫(b→a)|f(x)|dx
となってしまうので、
|∫(a→b)f(x)dx|≦|∫(a→b)|f(x)|dx|
としておくか、あるいはa<bと断ってから
|∫(a→b)f(x)dx|≦∫(a→b)|f(x)|dx
とすべきでしょう。


さて、
|∫(a→b)f(x)dx|≦|∫(a→b)|f(x)|dx|
について。

ルベーグ式の場合fが可積分なら定義から明らか。

リーマン式の場合はfの可積分性と|f|の可積分性
とが必ずしも一致しないので明らかといえるほど
簡単ではありません。
面倒な議論を避けるために、-∞<a<b<∞として
fは閉区間[a,b]で連続としておきます。
するとf(x)も|f(x)|も閉区間[a,b]上積分可能で、
リーマン和を考えて三角不等式を使うと、途中
大幅省略しますが
|∫(a→b)f(x)dx|≦∫(a→b)|f(x)|dx
であることがわかります。
※リーマン式の場合はきちっとやろうとすると
　結構めんどくさいです。
　詳しくは微積の本をみてください。

わかり易い例としては
(例1)a=0, b=2π, f(x)=sinx
(例2)a=-1, b=1, f(x)=x
などとして不等式の両辺を計算してみると様子
が実感できるのではないでしょうか。

符号付き面積自体はよく使う概念です。
面積の値が負になることもあるどころか、複素数
の値をとったり、ベクトルの値をとったりするよう
なものもあります。

「面積とは何か？」とか「何を符号付き面積と
呼ぶのか？」などと考えるのは不毛です。
ただの定義の問題。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
∮の記号について今後気をつけます。
また、y=sin(x)区間(0→2π) を例にとってやってみる上の不等式が成り立つ事がよく理解できました。

お礼日時：2014/09/10 11:13

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/07 09:10

>∮(1→3)(-x^2)dx=-(-8)=8

∫(1→3)(-x^2)dx=〔(-1/3)x^3〕[1→3]=―9+1/3=-26/3

マイナス区間を積分したら負です。

No.1 回答者： akinomyoga 回答日時： 2014/09/07 02:17

> 定積分の値が負になる時これを『符号付き面積』と呼ぶのでしょうか。

定積分は、正であっても負であっても基本的に『符号付きの面積』です。『符号付きの面積』というのは、面の「裏表」を意識した物と解釈でき、正の時は表で負の時は裏になっている事を表現します。高校の数学の範囲では余り裏表と言った感じはしませんが、大学の数学ではこの『符号付きの面積』が正に「面積の情報+裏表の情報」を持った便利な物として活躍します。

一方で、「面積を求めなさい」の様な問題の場合は、定積分＝『符号付き面積』から面積の部分、つまり、絶対値の部分を取り出さなければなりません。

つまり
　定積分 ＝ 『符号付き面積』 ＝ (面積)×(符号: ＋(表) or －(裏))、
　面積 ＝ | 定積分 |
　　＝定積分 (定積分>0 の時)、－定積分 (定積分<0 の時)
という事です。

> つまり定積分によって面積を求める場合は値は必ず正になりますが、普通に定積分する際には値が負の値をとる事もあり、これを『符号付き面積』とも呼ぶという事でしょうか。

上で述べた通りですが、「定積分」はそのまま面積を表す訳ではないので正になったり負になったりします。"定積分の値が負になったら、面積から符号付き面積の概念に変わる" という訳ではなく定積分は元から符号付き面積です。

> この不等式においてはそれぞれの区間を普通に積分するという意味で、各区間の面積を求めて合計する訳ではないですよね。

そうです。「面積」を求めて足す訳ではありません。符号付き面積と言う言葉が出たのでもっというと、『符号付きの面積』を求めて合計した物です。符号付き面積をそのまま足すと「表(正)」と「裏(負)」が打ち消し合いますが、符号付き面積とはその様な物です。つまり、表の部分から裏の部分を差し引いた "正味" の事を『符号付き面積』といいます。