面積の２等分

放物線y=x^2-2xとx軸で囲まれる部分Fの面積を求めよ。
また、直線y=axがFの面積を２等分するときのaの値と、放物線y=x^2-2xと直線y=axで囲まれる部分の面積をx軸が２等分するときのaの値を求めよ。

Fの面積は、積分の計算をして4/3と求まったのですが、その先がわかりません。グラフをかいてみればいいのでしょうか？それとも何か公式がありますか？
Fの面積が合ってるかどうかも知りたいので、是非教えてください。
お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/08/22 20:59

F=4/3であってますね。

y=axとy=x(x-2)との原点以外の交点のx座標を求めると
x=a+2となるから
前半は
∫[0,a+2] {ax-x(x-2)}dx=2/3
からaを求めると　a=-2+2^(2/3)(≒-0.4126)
後半は
∫[0,a+2] {ax-x(x-2)}dx=8/3
からaを求めると　a=2^(4/3) -2(≒0.5198)

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
説明もつけていただいて、わかりやすかったです。

お礼日時：2007/08/23 00:09

No.3 回答者： AYSM 回答日時： 2007/08/22 21:14

Ｆの面積は4/3でＯＫです。

＞直線y=axがFの面積を２等分するとき
なので、求める面積の値は4/3÷2で2/3になります。
ここで、直線y=axがFの面積を２等分するので、グラフの原点を通ってＦの面積を横切るような、傾きが負の直線を書いてください。この直線がy=axです。(ａは正かもしれないし、負かもしれないので「傾きが負」であってもy=－axにはしないように。)
次に、y=axとy=x^2-2xとの交点のｘ座標を求めます。ax=x^2-2xを解いてｘ＝０，２＋ａ
したがって先ほど引いたｙ＝axとy=x^2-2xの交点のｘ座標は０と２＋ａになります。すると、
「放物線y=x^2-2xと直線y=axで囲まれる部分の面積をx軸が２等分する」
というのは
「交点のｘ座標が0と2＋aである放物線y=x^2-2xと直線y=axで囲まれる部分の面積が2/3であるとき、aの値を求めよ。」
と解釈でき、これを解きます。
積分で面積を求め、求めた面積＝2/3にすると、最終的に
1/6(2+a)^3=2/3　　……※
(2+a)^3=4
あとはこれを解いてａの値を出しましょう。
※の部分の面積を簡単に出すためのテクニックは、Ｓ＝1/6(β－α)^3なのですが、詳しくは次のURLの１１．面積の計算の(１)を見てください。http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivativ …

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
URL参考にします！

お礼日時：2007/08/23 00:09

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/08/22 20:31

F の面積は 4/3 であってます.

まず, 素直に「放物線と直線でかこまれる部分」F' の面積を a を使って表現します. で, F' の面積が F の半分だったり 2倍だったりするような a を求めればいいってことになります.
後半はそのままだとわかりにくいけど, 図を描けばわりと簡単です. 「放物線と直線でかこまれる部分」の面積が x軸で 2等分されるんだけど, その結果「x軸より下の部分」は F そのものですね.

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/23 00:07