標準正規分布のモーメント母関数を計算した、3次モーメントと4次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

モーメント母関数をM(t)とすると、モーメント母関数の定義により、M(t)=E(exp(tX))です。

ただし、Xは、標準正規分布に従う確率変数で、E( )は、平均値を表すとします。実際に計算すると、

M(t) = exp(t^2/2)

となります(添付図参照)。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。

M'(t) = t・exp(t^2/2)
M''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2)

よって、

0回りの3次モーメント = M'''(0) = 0
0回りの4次モーメント = M''''(0) = 3

となります。
「標準正規分布のモーメント母関数」の回答画像2
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

お礼日時:2012/07/04 00:21

単に3次モーメントと4次モーメントとしか書かれていないので、取り敢えず原点の周りのモーメントを求めると解釈して・・・、



E[X^3] = (1/√(2π))・∫(-∞,∞){x^3・e(-x^2/2)}dx
E[X^4] = (1/√(2π))・∫(-∞,∞){x^4・e(-x^2/2)}dx
・・・を計算すればよいと思う・・・!

或いは、或いはN(0,1)のモーメント母関数φ(θ)を計算して、φ'''(θ)|θ=0 , φ''''(θ)|θ=0 ('は微分を表すものとする)を求めればよいと思う・・・!

この回答への補足

どうもありがとうございます。「・・・を計算すればよいと思う・・・!」というところの計算が分からないのですが、教えていただけますか。

補足日時:2012/07/02 13:15
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2012/07/04 00:22

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Q大学の代数学の課題で困っています。

初めてです。
よろしくお願いします!

大学の代数学の課題が解けなくて困っています。
例題などもないため、比較などができません。
提出の期限が迫っており、内容理解よりも先にレポートの提出をしてしまいたいのでよろしくお願いします。

[1]
Gを群とする。任意のx,y∈Gに対して(xy)^2=x^2×y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

[2]
G=R-{-1}とし、演算a*b=a+b+abを考える。ただし、右辺は実数における普通の和と積である。

(1)
集合Gはこの演算で閉じていることを示せ。すなわち、a,b∈Gならa*b∈Gとなることを示せ。

(2)
(G,*)は群になることを示せ。

(3)
3*x*2=5を満たすx∈Gを求めよ

[3]
正三角形の二面体群D6の自明でない部分群をすべて求めよ。

長くなりました。
醜い部分もあるかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

同じ問題で苦しんでいる, 仲間もいますね.

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139379225

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139465860

ところで, D_6 と S_3 の関係は, ご存知ですか.
多くの学生は知っていて, D_6 の自明でない部分群が4つというのは, 数秒で答えられるんですよ.
質問者様の場合, 基本があまり理解できていないようなので, D_6 の部分集合を書き出してみて, それら1つ1つが部分群かどうか, 御自身で調べることをお奨めします(正三角形の3つの頂点に, 1, 2, 3 と名前を付けます).
単位元を持たない部分集合は, 問題外ですね.
閉じているかどうか調べるには, 置換の積を正しく計算できる必要がありますが, 計算できない学生も少なくありません.
「位数 6 の群だから, 部分群の位数は 6 の約数 1, 2, 3, 6 で, 自明でない部分群の位数は 2 か 3 である」などと暗記しても, 置換の積を計算できないまま試験を受ければ, ひどい結果に終わるでしょう.

何か疑問があれば, 遠慮なく質問してください.

同じ問題で苦しんでいる, 仲間もいますね.

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139379225

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139465860

ところで, D_6 と S_3 の関係は, ご存知ですか.
多くの学生は知っていて, D_6 の自明でない部分群が4つというのは, 数秒で答えられるんですよ.
質問者様の場合, 基本があまり理解できていないようなので, D_6 の部分集合を書き出してみて, それら1つ1つが部分群かどうか, 御自身で調べることをお奨めします(正三角形の...続きを読む

Q標準正規分布のモーメント母関数について

次の問題が与えられています。

【問題】標準正規分布のモーメント母関数を求めよ。

以下のように解答します。

【解答】

モーメント母関数とは、φ(x)として、特にe^t*Xを選んだときの期待値E[e^t*X]を言う。
(ただし、tはXと無関係な変数)

この指数関数e^t*Xをマクローリン展開すると、

e^t*X=1+tx+1/2! (tx)^2+1/3! (tx)^3+⋯…である

tはXに無関係だから、

E[e^t*X]=∑_(k=0)^∞(1/k! E[X^k ] t^k)
となる。

標準分布はe^(-z/2)/2とあらわされる。
これをモーメント母関数を用いて計算する。
φ(x)= E(e^t*X)
=∫_(-∞)^∞ e^tx (1/√2π e^(-x^2/2) )dx⋯⋯①
=1/√2 ∫_(-∞)^∞ e^(-x^2/2+t*x) dx⋯⋯②
=1/√2 ∫_(-∞)^∞ e^(-(x-t)^2/2+t^2/2) dx⋯⋯③
=e^(t^2/2) 1/(√2 π) ∫_(-∞)^∞ e^(-(x-t)^2/2) dx⋯⋯④
=e^(t^2/2)⋯⋯⑤
よって、標準正規分布のモーメント母関数は、e^(t^2/2)

【質問】
A:この解答で正解でしょうか(友人が教えてくれた内容で、今一つ確証が得られません)。
B:次の点が納得できません(友人は、「知らない。解法を暗記しているだけだから……」とのこと)。
 (a)①から②にかけて、πが消えているのですが、どうしてでしょうか。
 (b)③から④にかけて、πが戻っているのですが、どうしてでしょうか。
 (c)④において、 1/(√2 π) ∫_(-∞)^∞ e^(-(x-t)^2/2) dxが1になるのだと思いますが、どうしてでしょうか。

以上、お手数ですが、教えてください。
よろしくお願いします。

次の問題が与えられています。

【問題】標準正規分布のモーメント母関数を求めよ。

以下のように解答します。

【解答】

モーメント母関数とは、φ(x)として、特にe^t*Xを選んだときの期待値E[e^t*X]を言う。
(ただし、tはXと無関係な変数)

この指数関数e^t*Xをマクローリン展開すると、

e^t*X=1+tx+1/2! (tx)^2+1/3! (tx)^3+⋯…である

tはXに無関係だから、

E[e^t*X]=∑_(k=0)^∞(1/k! E[X^k ] t^k)
となる。

標準分布はe^(-z/2)/2とあらわされる。
これをモーメント母関数を用いて計...続きを読む

Aベストアンサー

標準正規分布のモーメント母関数は一般的なモーメント母関数を標準正規分布に適用しただけの話であって、どんな統計の本にも出ていますのでまずは教科書を読みなおしてください。下記のurlを参考にしてもよいでしょう。
http://www.aandt.co.jp/jpn/qc/basic/bokansu.htm

要するに①の積分をやればよい。

φ(x)= E(e^t*X)
=∫_(-∞)^∞ e^tx (1/√2π e^(-x^2/2) )dx⋯⋯①

この式はあっています。

より正確に書くと

φ(x)= E[e^t*X] =∫(x:-∞→∞)[(e^tx)×(e^(-x^2/2)/√2π ]dx

  =(1/√2π )∫(x:-∞→∞)[e^(-x^2/2+tx)]dx

指数を平方完成して

-x^2/2+tx=(-1/2)(x^2-2tx)=(-1/2)[(x-t)^2-t^2]=t^2/2-(x-t)^2/2

φ(x)=(1/√2π )∫(x:-∞→∞)[e^(-x^2/2+tx)]dx

=(1/√2π )e^(t^2/2)∫(x:-∞→^∞)[e^(-(x-t)^2/2)]dx

=e^(t^2/2)∫(x:-∞→^∞)(1/√2π [e^(-(x-t)^2/2)] dx

積分は要するに正規分布を定義域で積分したものなので1、よって

φ(x)=e^(t^2/2)

質問の式(2),(3)はπが落ちているから間違い。

結論の(4)式はあっています。

標準正規分布のモーメント母関数は一般的なモーメント母関数を標準正規分布に適用しただけの話であって、どんな統計の本にも出ていますのでまずは教科書を読みなおしてください。下記のurlを参考にしてもよいでしょう。
http://www.aandt.co.jp/jpn/qc/basic/bokansu.htm

要するに①の積分をやればよい。

φ(x)= E(e^t*X)
=∫_(-∞)^∞ e^tx (1/√2π e^(-x^2/2) )dx⋯⋯①

この式はあっています。

より正確に書くと

φ(x)= E[e^t*X] =∫(x:-∞→∞)[(e^tx)×(e^(-x^2/2)/√2π ]dx

  =(1/√2π )∫(x:-∞→∞)[e^...続きを読む

Q【代数学】可換群の証明

【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在

①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。

【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。

Aベストアンサー

質問者は問題の意図を完全に理解していません。

問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。

Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。

ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2

質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。

x(yx)y=x^2y^2

この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
xy=yx
が得られるはずです。

Q代数学の質問です[準同型定理]

次の問題が与えられています。

整数nに対して、φ(n)=i^nと定める。ただし、iは虚数単位。

(1)φは加法群Zから乗法分C^xへの準同型写像であることを示せ。
(2)φの像と核を求めよ。
(3)φに準同型定理を適用するとどのようなことがわかるか。

このうち、(1)と(2)は解答できました。
そして(3)に入ったのですが、理解するのが難しいです。

「どのようなことがわかるか」
これはつまり、「どうして準同型定理を適用するのか」を聞いているのだと思います。
その意味や価値というものを調べてみても、書いてあるところが見つかりません。
どなたか、ご解説・ヒントをください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば更なる意味や価値も見えてくるかもしれませんが, 少なくともこのような問題を解く段階で出題者がそんなことを要求するとは思われません)

※これは余談ですが, 念の為, 一点前の質問に関連して, 初学者向けの注意をしておきます. 前回も二項演算が重要だというようなことを書きましたが, 群は集合と二項演算の組ですから, 本来は上の同型も Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} ではなく (Z/4Z, +) ~= ({1,i,-1,-i}, ⋅) というように群の演算を明記した上で書くべきです. ですが, 一々演算を明記するのは面倒だし, たいていは文脈から判断できるので, 省略して Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} というふうに書くことが多いのです.

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば...続きを読む

Q解析学の質問です

解析学の問題を次のように解きましたが、答えが分からず難儀しています。
どなたか、アドバイスをください。
よろしくお願いします。

問題
 曲線 r^2 = 2a^2 cos2θ の直角座標における方程式を求めよ

答え
 【前提として、次が成り立つことはテキストに明記されていました】
 x = r cosθ ,  y = r sinθ ,  r = √(x^2 + y^2) ,  tanθ = y/x

 左辺 = x^2 + y^2
 右辺 = 2a^2 cos2θ = 2a^2*2*(sinθ*cosθ) = 2a^2*2*(y/r*x/r) = 4a^2*xy/(x^2+y^2)
 よって、この方程式は、 (x^2 + y^2)^2 = 4a^2xy となる。

 
 以上の形になるのですが、この方程式は果たして何なのでしょうか。
 そもそも、答え方が間違っているでしょうか?
 本当はテキストを熟読して自己解決したいのですが、不運なことに大学で指定されたテキストは、問題の答えや解法が記載されていないので、類題などを発見しても参考にすることができず、何時間も「答え方を勉強できるテキストのページはどこか」を探すことに費やしてしまって、クタクタです。
 通信教育で学んでいるため、気軽に質問をすることもできないので、こちらを頼りにさせてもらおうと考えた次第です。
 どうか、「勉強すること」を助けていただけますよう、皆様のご助力をお願い申し上げます。

解析学の問題を次のように解きましたが、答えが分からず難儀しています。
どなたか、アドバイスをください。
よろしくお願いします。

問題
 曲線 r^2 = 2a^2 cos2θ の直角座標における方程式を求めよ

答え
 【前提として、次が成り立つことはテキストに明記されていました】
 x = r cosθ ,  y = r sinθ ,  r = √(x^2 + y^2) ,  tanθ = y/x

 左辺 = x^2 + y^2
 右辺 = 2a^2 cos2θ = 2a^2*2*(sinθ*cosθ) = 2a^2*2*(y/r*x/r) = 4a^2*xy/(x^2+y^2)
 よって、この方程式は、 (x^2 + y^2)^2 = 4a^2xy ...続きを読む

Aベストアンサー

右辺の変形に誤りがある。2sinθcosθ = sin(2θ)でcos(2θ)ではない・・!
cos(2θ) = cos^2(θ)-sin^2(θ)・・・加法定理ですぐに導ける
右辺 = 2a^2cos(2θ) = 2a^2(cos^2(θ)-sin^2(θ)) = 2a^2(x^2/r^2-y^2/r^2)
= 2a^2(x^2-y^2)/(x^2+y^2)

よって
(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2)

レムニスケート(連珠線)と呼ばれている曲線の方程式を表している・・!

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qeの微分の公式について

e^xの微分はe^xですが
e^f(x)の微分はf'(x)e^f(x)でいいのでしょうか?
ネットで調べたのですが、e^xの微分の公式の説明ばかりだったので教えてください

Aベストアンサー

あってますよ。
普通に検索すると、確かに見つけにくいですね^^
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/symbolic/derive.html

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Q確率変数4乗の期待値について

ηは、平均0、分散σ^2の確率変数とします。

この時
E[η^4]=3σ^4
と導出できるとテキストにあるのですが、
これが導出できません。

なぜ係数が3になるのでしょうか。
単純に、E[η^4]=E[η^2・η^2]=E[η^2]・E[η^2]=σ^4
では駄目なのでしょうか?

Aベストアンサー

えぇと, まず
「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」

「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
は矛盾するわけじゃないよね.

で, 「正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であること」自体は当然示すことができます. 努力と根性が好きな人なら定義に突っ込んで 2回ほど部分積分すればいい (その途中で「η P(η) の不定積分」が出てくる) し, 手を抜きたいなら積率母関数を考えればいい.

Q合同でない三角形

問題
二つの三角形の二組の辺の長さが等しく、それらの夾角以外の角が等しいとする。このような三角形で合同でない例を挙げよ。

いろいろ考えても合同になってしまいます。

申しわけありませんがよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)直線ABを引きます
(2)点Bを中心とした円を書きます。半径は、ABの長さより短かくします。
(3)点Aを通り、(2)の円と2点で交わる直線を引きます。その2つの交点をAに近い方からC,Dとします。

これで、条件に合う三角形が一組でできます。
どれとどれだかわかりますよね?


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