標準正規分布のモーメント母関数を計算した、3次モーメントと4次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

モーメント母関数をM(t)とすると、モーメント母関数の定義により、M(t)=E(exp(tX))です。

ただし、Xは、標準正規分布に従う確率変数で、E( )は、平均値を表すとします。実際に計算すると、

M(t) = exp(t^2/2)

となります(添付図参照)。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。

M'(t) = t・exp(t^2/2)
M''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2)

よって、

0回りの3次モーメント = M'''(0) = 0
0回りの4次モーメント = M''''(0) = 3

となります。
「標準正規分布のモーメント母関数」の回答画像2
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

お礼日時:2012/07/04 00:21

単に3次モーメントと4次モーメントとしか書かれていないので、取り敢えず原点の周りのモーメントを求めると解釈して・・・、



E[X^3] = (1/√(2π))・∫(-∞,∞){x^3・e(-x^2/2)}dx
E[X^4] = (1/√(2π))・∫(-∞,∞){x^4・e(-x^2/2)}dx
・・・を計算すればよいと思う・・・!

或いは、或いはN(0,1)のモーメント母関数φ(θ)を計算して、φ'''(θ)|θ=0 , φ''''(θ)|θ=0 ('は微分を表すものとする)を求めればよいと思う・・・!

この回答への補足

どうもありがとうございます。「・・・を計算すればよいと思う・・・!」というところの計算が分からないのですが、教えていただけますか。

補足日時:2012/07/02 13:15
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2012/07/04 00:22

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