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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>Z/(a)が単項イデアル環であることとIが単項イデアルということは同値なのはなぜですか?
同値というのは意味不明ですが,IはZ/(a)の任意のイデアルとしたのですから,それが単項ならZ/(a)は単項イデアル環です。(定義ですね。)
>なぜJがイデアルならばIが単項イデアルなことがいえるのでしょうか?
Zは単項イデアル環ですから,Jがイデアルであることさえ言えれば,Jは単項イデアルです。I=f(J)なのですから,そのときIも単項イデアルです。
この回答への補足
一応証明したのですが、どこでaが効いてくるのかがわかりません。
自分の証明:(1)x、y∈Jとして、f(x+y)=f(x)+f(y)∈I(なぜなら、x、y∈Jより、f(x)、f(y)∈I、Iはイデアル)よってx+y∈J
(2)x∈Z、y∈Jとして、f(xy)=f(y)+f(y)+f(y)+・・・・+f(y)(全部でxこ)∈I。よってxy∈J
これより、Jはイデアル。よってこれは単項イデアルであり、fは全射より、f(J)=Iで、Iも単項イデアル。ゆえに、任意のイデアルが単項イデアルより、Z/(a)は単項イデアル環。
てなかんじなんですが、どうでしょうか?
No.2
- 回答日時:
質問文の後半で述べていることですが,集合としてa+(a)と(a)は同じものですから,証明になっていないのではないでしょうか。
剰余類群を論じるときは,集合を丸ごと考えるのではなく,代表元を考えるのが基本です。IをZ/(a)の任意のイデアルとして,fによるその逆像(Zの部分集合)をJとします。すなわち
J={n∈Z|f(n)∈I}
Zは単項イデアル環であることはわかっていますから,Iが単項イデアル環であることを示すには,Jがイデアルであることを示せば十分です。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
質問ですが、なぜJがイデアルならばIが単項イデアルなことがいえるのでしょうか?また、そもそもZ/(a)が単項イデアルであることとIが単項イデアルということは同値なのはなぜですか?すみません、おねがいします。
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