特異点についてです

曲線　g(x,y)=x^2+xy+y^2-1=0　が特異点をもたないということを示すにはどうすればいいでしょうか。
ご指導のほどよろしくお願いします。

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/20 20:06

ANo.1です。

　ANo.2さん、ありがとうございます。

＞曲線 g(x,y)=0 の特異点の話と
＞関数 g(x,y) の特異点の話が
＞微妙に混じり合っているから、
確かにそうでした。後半に書いていることは無視して下さい。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/20 19:42

う～ん。

A No.1 は正しい証明なんだけれど…
曲線 g(x,y)=0 の特異点の話と
関数 g(x,y) の特異点の話が
微妙に混じり合っているから、
解ってない人向けの説明としては
どんなもんかなあ。

曲線の特異点とは、曲線上にあって、
接ベクトルが存在しない点のこと。
| g(x,y)=0 かつ
| 偏微分 ∂g/∂x, ∂g/∂y が不能
| または (∂g/∂x,∂g/∂y)=(0,0)
となる点が無いことを言えばいいので、
| (∂g/∂x,∂g/∂y)=(0,0) を解いた
| 解 (x,y)=(0,0) 上では g(x,y)≠0
という話は、正しく証明になっている。

No.1 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/20 17:36

＞曲線　g(x,y)=x^2+xy+y^2-1=0　が特異点をもたないということを

ｇx（ｘ，ｙ）＝２ｘ＋ｙ＝０，ｇy＝（ｘ，ｙ）＝ｘ＋２ｙ＝０とおいて
連立で解くと、ｘ＝ｙ＝０
ｇ（０，０）＝－１≠０なので、（０，０）は特異点ではない。
だから、特異点をもたない。

ｇxx（ｘ．ｙ）＝２，ｇyy（ｘ，ｙ）＝２，ｇxy（ｘ，ｙ）＝１より、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）で、
ｇxx・ｇyy－ｇxy^2＝２・２－１^2＝３＞０より、ｇxx＝２＞０だから、
（０，０）で極小値－１をとる。

参考書などで調べてみて下さい。