ガウス関数の面積を表わす公式はあるのでしょうか?
ガウス関数だけでなく、ローレンツ関数との複合関数の面積の公式はあるのでしょうか?あれば、教えていただきたいのですが。

もしなければ、半値幅は面積と比例関係にあるのでしょうか?

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A 回答 (1件)

x=-∞から x=∞ までの面積なら


(1)  S = ∫[x=-∞ ~ x=∞] exp(-a^2 x^2) dx = (√π)/a
です.
半値幅は 1/a に比例しますから,結局Sとも比例関係にあります.

ローレンツ関数との複合関数は具体的な形を書かれていませんが
(2)  f(x) = b exp(-a^2 x^2) / (x^2 + b^2)
というつもりでしたら
(3)  ∫[x=-∞ ~ x=∞] f(x) dx = 2(√π) exp(a^2 b^2) Erfc(ab)
であることが知られています.
ただし,Erfc(x) はいわゆる Gauss の誤差関数
(4)  Erfc(x) = ∫[t=x ~ t=∞] exp(-t^2) dt
です.
変数変換すればわかりますように,Erfc(-∞)が本質的に(1)の積分ですね.
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。

今はガウス関数の波形分離をしておりまして、半値幅と面積の関係を知りたかったのです。これから頑張って波形分離をしたいと思っております。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/21 10:13

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Aベストアンサー

ちょっと問題が舌足らずだと思います。
三角形の面積ですから、X×Y/2=54 で式は正しいと思います。
ただ比例と反比例の問題ですから、式をYとXの関係がどうなっているのか出題者に解るように直さないといけないですね。

なので
X×Y/2=54
X×Y=54×2
Y=108/X 
と表して、XとYが反比例の関係にあると表す必要が出てきます。

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そこで、半値幅とピーク高さの値が求まったとして、面積を求めたいと思っています。半値幅とピーク高さでガウス形とローレンツ形の面積を表わすことができるのでしょうか?面積の公式ってあるのでしょうか?

数学に詳しい方、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ガウス(Gauss)型曲線は
(1)  G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です.中心は x=0 としています.
曲線と x 軸との間の面積 S はよく知られた公式で
(2)  S = ∫{-∞~∞} G(x) = (A/a)√π
です.
一方,ピーク値はもちろん A,
半値幅 w は,高さがピーク値の半分になる幅ですから,
x=±w/2 で G の値が A/2.
すなわち
(3)  exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で,これから
(4)  w = 2√(ln 2)/a  ⇔  a = w/2√(ln 2)
です.
(4)を(2)に代入して,ピーク値 A を考慮すればできあがり.

ローレンツ(Lorentz)型は
(5)  L(x) = B/(x^2 + Γ^2)
の形.前と同じく中心は x=0 としています.
ピーク値は x=0 とおいて B/Γ^2 ですね.
こちらも面積の積分は簡単で
(6)  S = ∫{-∞~∞} L(x) = Bπ/Γ
半値幅は
(7)  B/{(w/2)^2 + Γ^2} = (1/2) B/Γ^2
から
(8)  w = 2Γ  ⇔  Γ = w/2
(6)に(8)を代入して,ピーク値 B/Γ^2 を考慮すればできあがり.

ガウス(Gauss)型曲線は
(1)  G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です.中心は x=0 としています.
曲線と x 軸との間の面積 S はよく知られた公式で
(2)  S = ∫{-∞~∞} G(x) = (A/a)√π
です.
一方,ピーク値はもちろん A,
半値幅 w は,高さがピーク値の半分になる幅ですから,
x=±w/2 で G の値が A/2.
すなわち
(3)  exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で,これから
(4)  w = 2√(ln 2)/a  ⇔  a = w/2√(ln 2)
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自宅で子供の勉強を見ているものです。できれば専門家のご意見を頂きたいです。

私が子供だったとき、塾講師だったときを通じての疑問ですが、反比例というものを比例と平行して中1段階で教える意味が理解できません。比例は現実世界との結びつきも多く、関数の導入として適当だとは思いますが、反比例は狭く特殊な世界で、実際教え方もおまけ的になっていると思います。それくらいなら、比例→一次関数としたほうが良いのではないか、本当は一次関数にいきなり入ってそのうち原点を通る特殊例として比例を教えても良いくらいだと思いますが、そういう演繹的な方法は全ての子供にわかりやすくはないので、判りやすい(と思われる)比例から入るのはOKなんですが。

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Aベストアンサー

 #1です。
 お礼をありがとうございます。

>むしろ比例→一次関数と方程式の対照関係を意識させたほうが(若干ながら)よいように思っているところです。

 makochiaさんは、関連のある単元はまとめて近い時期に教えた方がよいとのお考えかと推察しました。
 それであれば、「1次方程式 → 連立方程式」 の学習を先に終えていれば、学習の順序としては、それでもよいかもしれません。

 ただ、関連のある単元を敢えて時間を空けて学習する利点もあるかと考えています。

 その1つは、新しい単元を学習する際に、関連する以前の単元を自然とおさらいする効果が期待できることです。
 過去に学習した単元でも時がたてば理解した内容が薄れることはよくあります。そのため、理解を定着させるためには、定期的に復習する必要がありますが、同じ単元の学習をしていては学習効率が損なわれます。
 そこで、少しずつ難易度を上げながら復習していけば(つまり時間を空けて段階的に難易度を上げて学習していけば)、新しい単元の学習とともに以前の単元の復習効果を期待することができます。

 もう1つは、まとめて学習する際の欠点を避けることです。
 同じ数学の中でも、図形は得意だけど方程式は苦手だとか、その逆があったりと、たいがい生徒により得手不得手があります。
 たまたまある定期テストの範囲が苦手な分野ばかりが集中してしまいますと、生徒の学習意欲を損ねたりしますし、また指導者の立場としては、時系列的な学習状況の把握が難しくなる面があります。
 また得意な分野が続いたとしても、同じ分野ばかり学習していますと、いくら得意でも飽きが生じ、学習意欲を損ねる恐れもあります。

 そのため、各単元の学習順序はバランスを重視して考えられ、その結果、比例/反比例は中1で、1次関数は中2でと配分されているのだと考えています。



>特異点の問題については全く同感ですが、今の反比例の扱いは全くおまけになっていて、特異点のことに思いを致すレベルまで行っている子は非常に少ない。

 確かに特異点にまで発展して考えられる生徒は少ないですね。
 ただ少ないながらも、早い時期に触れておくことで高校数学に進んでからの特異点や極限の理解を容易にしているように思うのですが、いかがでしょうか。

 あと、「今の反比例の扱いは全くおまけ」とのことですが、手持ちの教科書を見ますと、

  比例       ・・・ 16ページ
  反比例      ・・・ 8ページ
  比例/反比例共通 ・・・ 5ページ
    (出典)大日本図書 新版 中学校 数学1

となっていて、「おまけ」とまではいえないように思っています。
 これだけのページ数が割かれていれば、学校の授業では1週間程度は学習しているのではないでしょうか。
 むろん1週間を「おまけ」と見なすかについては、見解の違いがあるかもしれませんが。

 以上、また私見を述べました。よろしければ参考にしてください。

 #1です。
 お礼をありがとうございます。

>むしろ比例→一次関数と方程式の対照関係を意識させたほうが(若干ながら)よいように思っているところです。

 makochiaさんは、関連のある単元はまとめて近い時期に教えた方がよいとのお考えかと推察しました。
 それであれば、「1次方程式 → 連立方程式」 の学習を先に終えていれば、学習の順序としては、それでもよいかもしれません。

 ただ、関連のある単元を敢えて時間を空けて学習する利点もあるかと考えています。

 その1つは、新しい...続きを読む

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