行列 連立一次方程式

a,b,c,d,が０でない実数であるとき、次の連立一次方程式を解け

ax-by-az＋bu=1
bx＋ay-bz-au=0
cx-dy＋cz-du=0
dx＋cy＋dz＋cu=0

行列を使った解き方でお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/08/04 21:36

>a,b,c,d,が 0 でない実数であるとき、次の連立一次方程式を解け

>ax-by-az＋bu=1
>bx＋ay-bz-au=0
>cx-dy＋cz-du=0
>dx＋cy＋dz＋cu=0

「a,b,c,d,が 0 でない実数であるとき」に、今ごろ気付いた。
いくら暑いといっても「仏の顔も三度まで」ですが…。

　a, b, c, d が 0 でない実数 ⇒ det(F) ≠ 0 & det(G) ≠ 0 が成立つ。
前稿末尾のコメント　= 振り出しに戻り、慎重な「場合わけ」を要するみたい =　は余計でした。

det(G) ≠ 0 だから、
　v+w = o
　w = -v　　　…(*)

det(F) ≠ 0 だから、
　x = a/{2(a^2+b^2)}
　y = -b/{2(a^2+b^2)}

そして (*) により、
　z = -a/{2(a^2+b^2)}
　u = b/{2(a^2+b^2)}

…でチョン (拍子木の音) なのです。
　　　

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/07/31 16:52

記号乱脈 < > を訂正。

ためしに、
　F = [ a　-b ;　b　a ]
　G = [ c　-d ;　d　 c ]
　v = [x　; y ]
　w = [z　; u ]
　i = [1　; 0 ]
　o = [0　; 0 ]
としてみる。

(1-1), (1-2) は、
　Fv - Fw = <i>　　　…(3)

(2-1), (2-2) は、
　G (v+w) = o　　　…(4)

ここで、det(G) ≠ 0 なら？
　v+w = o
　w = -v　　　…(5)
これを (3) へ代入。
　[ a　-b ;　b　a ][x　; y ] = [1/2　; 0 ]　　　…(6)

det(a　-b ; b　a) = a^2+b^2 ≠ 0 ならば、(6) の解は、
　x = a/{2(a^2+b^2)}
　y = -b/{2(a^2+b^2)}

そして (5) により、
　z = -a/{2(a^2+b^2)}
　u = b/{2(a^2+b^2)}

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/07/31 16:37

>a,b,c,d,が０でない実数であるとき、次の連立一次方程式を解け

>ax-by-az＋bu=1　　　…(1-1)
>bx＋ay-bz-au=0　　　…(1-2)
>cx-dy＋cz-du=0　　　…(2-1)
>dx＋cy＋dz＋cu=0　　…(2-2)

>行列を使った解き方で

「行列表記にして解ければ、一網打尽」だから？
{a, b, c, d} が非零とはいえ、行列表記での一発勝負に成算はあるか？

ためしに、
　F = [ a　-b ;　b　a ]
　G = [ c　-d ;　d　 c ]
　v = [x　; y ]
　w = [z　; u ]
　i = [1　; 0 ]
　o = [0　; 0 ]
としてみる。

(1-1), (1-2) は、
　Fv - Fw = m　　　…(3)

(2-1), (2-2) は、
　G (v+w) = o　　　…(4)

ここで、det(G) ≠ 0 なら？
　v+w = o
　w = -v　　　…(5)
これを (3) へ代入。
　Fv = m/2
　[ a　-b ;　b　a ][x　; y ] = [1/2　; 0 ]　　　…(6)
det(a　-b ; b　a) = a^2+b^2 ≠ 0 ならば、(6) の解は、
　x = a/{2(a^2+b^2)}
　y = -b/{2(a^2+b^2)}
そして (5) により、
　z = -a/{2(a^2+b^2)}
　u = b/{2(a^2+b^2)}

どうやら、振り出しに戻り、慎重な「場合わけ」を要するみたい。

　　

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/31 16:23

単なる単純な計算を長々とすればいいだけの問題ですから、根気良く計算ミスをしないように、自身でやってみて下さい。

分からない部分は、途中計算を補足に書いて、どこが分からないか、訊いてください。

AX=Y
A=
[a,-b,-a,b]
[b,a,-b,-a]
[c,-d,c,-d]
[d,c,d,c]

X=
[x]
[y]
[z]
[u]

Y=
[1]
[0]
[0]
[0]

|A|=det(A)=4(a^2+b^2)(c^2+d^2)
A~を余因子行列として
A^-1=A~/|A|=((1/2)/((a^2+b^2)(c^2+d^2)))*
[ a(c^2+d^2),b(c^2+d^2),(a^2+b^2)c ,(a^2+b^2)d]
[-b(c^2+d^2),a(c^2+d^2),-(a^2+b^2)d,(a^2+b^2)c]
[-a(c^2+d^2),-b(c^2+d^2),(a^2+b^2)c,(a^2+b^2)d]
[b(c^2+d^2),-a(c^2+d^2),-(a^2+b^2)d,(a^2+b^2)c]

X=
[x]
[y]
[z]
[u]

=(A^-1)Y=

[ (a/2)/(a^2+b^2)]
[-(b/2)/(a^2+b^2)]
[-(a/2)/(a^2+b^2)]
[ (b/2)/(a^2+b^2)]

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/31 15:13

「行列を使った解き方」ってなんですか?