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数列{an}は次の2つの条件(A)、(B)をみたす。

(A)an>0(n=1、2、3)
(B)Σ(k=1~n)ak^2={Σ(k=1~n)ak}^2

(1)a1、a2、a3を求めよ。

(2)a(n+1)^2=a(n+1)+2Σ(k=1~n)akが成り立つことを証明せよ。

(3)数列{an}の一般項を求めよ。



答え
(1)a1=1、a2=2、a3=3

(3)an=n

証明問題もありますが…

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

A 回答 (10件)

ANo.9です。

 ANo.9に書いたことは間違いです。削除して下さい。

ANo.4(2)の
>n=k(k≧2)のとき
とは別に、n=1のときも仮定にしないと、証明が成り立たないのに、
そのことについて書いてなかったので、気になりました。
(やはり、帰納法を使わない方が面倒がなくていいのかもしれません。)
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ANo.4です。

(2)の以下のところ、

>n=k(k≧2)のとき
も、k≧1に訂正をお願いします。
(k=1のときも仮定に含めないと、証明が成り立たないので。)
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ANo.4ANo.6です。

ANo.7さんご指摘ありがとうございます。(3)を訂正します。

>この式が n=0 に対して成り立つとしていいなら #6 の通りでいいし, そうでない (つまり n≧1 でな>ければならないとする) ならダメです

>ANo.6の(3)を訂正します。
>a(n+1)^2=a(n+1)+2Σ(k=1~n)ak (n≧1)から、
an^2=an+2Σ(k=1~n-1)ak (n≧2) 
an+1^2-an^2=an+1-an
          +2{(a1+……+an-1+an)-(a1+……+an-1)}
(an+1+an)(an+1-an)=an+1-an+2an=an+1+an
an+1+an>0より、両辺を割ると、
an+1-an=1 (n≧2)
an-an-1=1
 ……
a3-a2=1
a2-a1=1
両辺同士足すと打ち消し合うから、
an-a1=n-1,a1=1だから、
an=1+(n-1)=n(n≧2)
n=1のとき、a1=1だから、上の式を満たす。
よって、an=n(n≧1)

>ちなみに #4 の「微妙にアウト」は帰納法の最初を間違えてる. k≧2 でまわしてるんだから, a1 だ>けじゃなくって a2 も押さえておく必要がある.

>ANo.4の(3)を訂正します。
>(3)数列{an}の一般項を求めよ。
an+1^2=an+1+2(a1+……+an)(n≧1)
a4^2=a4+2(a1+a2+a3)
=a4+2(1+2+3)
an^2-an-12=0
(a4-4)(a4+3)ー0
a4>0より、a4=4
よって、an=n(n≧1)
数学的帰納法により
n=1のとき、a1=1成り立つ。
n=kのとき、ak=k(k≧1)が成り立つと仮定すると、……k≧1に訂正
n=k+1のとき、
ak+1^2=ak+1+2(a1+……+ak)
=ak+1+2(1+……+k)
=ak+1+2・(1/2)k(k+1)
ak+1^2-ak+1-k(k+1)=0
{ak+1-(k+1)}(ak+1+k)=0
ak+1>0より、ak+1=k+1
よって、すべての自然数nについて成り立つ

まだ何かあったら、お願いします。
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この回答へのお礼

なるほど!
何度も訂正していただいて
ありがとうございました(><)

お礼日時:2012/09/15 04:35

(3) は, 結局もとの (2) にある


a(n+1)^2=a(n+1)+2Σ(k=1~n)a(k)
が「どんな n に対して成り立つのか」って勝負なんです>#6.

この式が n=0 に対して成り立つとしていいなら #6 の通りでいいし, そうでない (つまり n≧1 でなければならないとする) ならダメです (途中で使っている
an^2=an+2Σ(k=1~n-1)ak
が n=1 で成り立つためには, (2) の式が n=0 で成り立つことにしなきゃならない).

ちなみに #4 の「微妙にアウト」は帰納法の最初を間違えてる. k≧2 でまわしてるんだから, a1 だけじゃなくって a2 も押さえておく必要がある.
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ANo.4です。

 ANo.5さんありがとうございます。

(2)は、なるほど、です。
>(2) は
>[Σ(k=1~n+1) a(k)]^2 = Σ(k=1~n+1) a(k)^3 = a(n+1)^3 + Σ(k=1~n) a(k)^3
>= a(n+1)^3 + [Σ(k=1~n) a(k)]^2
>から出てくる.
an+1^3=[Σ(k=1~n+1) a(k)]^2-[Σ(k=1~n) a(k)]^2 として
両辺をan+1で割れば出てきますね。

(3)を再回答します。
>a(n+1)^2=a(n+1)+2Σ(k=1~n)ak から、
an^2=an+2Σ(k=1~n-1)ak 
an+1^2-an^2=an+1-an
          +2{(a1+……+an-1+an)-(a1+……+an-1)}
(an+1+an)(an+1-an)=an+1-an+2an=an+1+an
an+1+an>0より、両辺を割ると、
an+1-an=1で、 a1=1だから、
{an}は、初項1,公差1の等差数列だから、
an=1+(n-1)・1=n
よって、an=n
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(2) に帰納法はいらないし, (3) は微妙にアウトだ>#4.



(3) は勝手に気付いてもらうことにして, (2) は
[Σ(k=1~n+1) a(k)]^2 = Σ(k=1~n+1) a(k)^3 = a(n+1)^3 + Σ(k=1~n) a(k)^3
= a(n+1)^3 + [Σ(k=1~n) a(k)]^2
から出てくる.
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ANo.2です。

補足について

誤:(A)an>0(n=1、2、3)
>正:(A)an>0(n=1、2、3…)

誤:(B)Σ(k=1~n)ak^2={Σ(k=1~n)ak}^2
>正:(B)Σ(k=1~n)ak^3={Σ(k=1~n)ak}^2

>(1)a1、a2、a3を求めよ。
a1^3=a1^2より、a1^2(a1-1)=0, a1^2>0だから、a1=1
a1^3+a2^3=(a1+a2)^2より、1+a2^3=(1+a1)^2を解きます。
後は同じようにできます。

>(2)a(n+1)^2=a(n+1)+2Σ(k=1~n)akが成り立つことを証明せよ。
a1,a2,a3でやってみます。上の式より、
a1^2=a1より、a1^3=a1^2 …(1)
a2^2=a2+2a1より、a2^3=a2^2+2a1a2 …(2)
(B)の式より、
a1^3+a2^3+a3^3=(a1+a2+a3)^2
=a1^2+a2^2+a3^2+2a1a2+2(a1+a2)a3 だから、
(1)(2)より、
a3^3=(a1+a2+a3)^2-(a1^3+a2^3)
=a3^2+2(a1+a2)a3
a3>0だから、a3^2=a3+2(a1+a2)

この流れで、数学的帰納法で証明すると
n=1のとき、a1^2=a1=1で成り立つ
n=k(k≧2)のとき、
ak^2=ak+2(a1+……+ak-1)が成り立つと仮定すると、
ak^3=ak^2+2(a1+……+ak-1)ak
n=k+1のとき、
(B)式より、
a1^3+……+ak+1^3=(a1+……+ak+1)^2
=a1^2+……+ak+1^2+2(a1a2+……+akak+1)だから、仮定から、
ak+1^3=(a1+……ak+1)^2-(a1^3+……+ak^3)
=ak+1^2+2(a1+……+ak)ak+1
ak+1>0より、
ak+1^2=ak+1+2(a1+……+ak)
よって、すべての自然数nについて成り立つ。

>(3)数列{an}の一般項を求めよ。
an+1^2=an+1+2(a1+……+an)(n≧1)
a4^2=a4+2(a1+a2+a3)
=a4+2(1+2+3)
an^2-an-12=0
(a4-4)(a4+3)ー0
a4>0より、a4=4
よって、an=n(n≧1)
数学的帰納法により
n=1のとき、a1=1成り立つ。
n=kのとき、ak=k(k≧2)が成り立つと仮定すると、
n=k+1のとき、
ak+1^2=ak+1+2(a1+……+ak)
=ak+1+2・(1/2)k(k+1)
ak+1^2-ak+1-k(k+1)=0
{ak+1-(k+1)}(ak+1+k)=0
ak+1>0より、ak+1=k+1
よって、すべての自然数nについて成り立つ

確認してみて下さい。
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うん, (元ネタを考えれば) 左辺は当然 3乗じゃないとおかしいよね.



(1) は単純に計算するだけ.
(2) は (B) で n+1 にした式をちょろっと変形.
(3) は (2) で得られた式から漸化式を作る.

境界条件に注意は必要だがそんなに難しくもない. 特に (1) はただただ指示されたことをするだけでいいので頭すら不要.
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>(A)an>0(n=1、2、3)


>(B)Σ(k=1~n)ak^2={Σ(k=1~n)ak}^2
に従って、(B)をa1,a2,a3で表してみると、
a1^2=a1^2
a1^2+a2^2=(a1+a2)^2
a1^2+a2^2+a3^2=(a1+a2+a3)^2
に答えを代入してみると、最初の式はいいですが、2番目と3番目の式
左辺=1^2+2^2=5,右辺=(1+2)^2=9
左辺=1+4+3^2=14,右辺=(1+2+3)^2=36
で等号が成り立ちません。

(A)(B)の条件を確認して欲しいです。問題が解けません。

この回答への補足

誤:(A)an>0(n=1、2、3)
正:(A)an>0(n=1、2、3…)

誤:(B)Σ(k=1~n)ak^2={Σ(k=1~n)ak}^2
正:(B)Σ(k=1~n)ak^3={Σ(k=1~n)ak}^2

かなり間違えていました…
すいません!

補足日時:2012/08/17 23:02
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なんかおかしい. なんでこの条件で a1=1 なんだ?

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