高校数学　不等式の操作について

Question

いつも大変お世話になっております。

数学の問題で以下のようなものがあるのですが、どうしてこのような解き方をするのか理解できていません。

（問）取り得る値の範囲　3≦2x+y≦4, 5≦3x+2y≦6 の時、次の式の取り得る値の範囲を求めよ。
　　（１） x
　　（２） y
　　（３）x+y

（１）　2x+y=p――(1)　3x+2y=q――(2)と置いて
　　　　これを解くと、x=2p－q 
　　　　また、3≦p≦4 　 5≦q≦6 より
　　　　6≦2p≦8 －5≧－q≧－6より－6≦－q≦－5
　　　　この２式を加えると、0≦2p－q≦3 ∴ 0≦x≦3

（２）　（１）と同様にして、－2≦y≦3

（３）　（１）,（２）の結果から、－2≦x+y≦6 としてはいけません。
　　　　　x+yは、0≦x≦3 －2≦y≦3 の範囲で自由に振る舞える訳ではないからです。
　　　　そこには、3≦2x+y≦4 5≦3x+2y≦6 という条件が常にあるからです。
　　　　そこで、－3≧－p≧－4 5≦q≦6 として
　　　　x+y=－p+q　より　1≦x+y≦3 となります。

疑問点１
　（１）、（２）でp,qと置き換えていますが、そうすれば解けるのでしょうが、このようにする意味が理解できていないので、「置き換えて計算してたら答えが出ちゃった」という状況にしか今のところ見えていません。このようにする考え方を教えていただけないでしょうか。
　また、与えられた２つの不等式を連立方程式のように解くと正解と合わないので、間違っているのでしょうが、どうしてそのようにするのがマズイのでしょうか。

疑問点２
　（３）の解説で、確かにxとyは従属関係にあるので、ということなのでしょうが、そこでp,qを使っての解法になっているので理解できなくなっています。

お忙しい中、大変申し訳ございませんが、アドバイスいただけると助かります。

kacchann · Accepted Answer

No.6です。
前回、カンで答えた部分について、
自分なりに疑惑が解明された(?)部分があるので補足。
前回書いた"ルール"2項目についてね。

言葉の定義に若干あいまいな点があるのは許して。
---

・「互いに独立した2変数x,yのそれぞれの関数f(x),g(y)は
互いに独立している」の根拠だけど、
変数の独立の定義(?)から明らかだった。
ちなみに「変数が独立して動く」は参考書独自の用語、表現かもしれない。
よくしらない。ごめん。
(一方が他方に「全く」影響を及ぼさない、の意で使われているものと思われる)

・互いに独立的に動く2要素p,qがあって
その動く範囲がそれぞれa<p<b, c<q<dのとき
和p+qの取りうる範囲の求め方だけど、
いわゆる"一文字固定法"。(参考書用語ですまん)
独立してる変数のうちのいくつかの動きを封じて
考えやすくする、という考え方ね。
人によっては自明なのかもしれないけど。
---

それはさておき。
この問題をその本の解法で解くには
上記のことをしっかりとらえていて、
かつ、
前回もかいたけど、
p,qで置き換えたとき
この2変数ははたして
3≦p≦4、5≦q≦6
の範囲をくまなく動き得るの？　ということを
ちゃんと調べないとならない。

こんなの普通の高校生にはムリだよ。
図書けば1瞬で解けるものを。

これ東京出版の「1対1対応の演習」の「数I」の例題だよね。
本みたけど、解答やその周りの注意事項とかも、中途半端で、
何がなんだかわからない。
(※僕が上でかいたようなことには一切触れてない。)
「あれ、これ青チャートだったっけな」と思ったくらい記述がずさん。
だったらこんな解法載せるな、とすごく思った。
受験での使い道、使用機会もまずないし。

・

kacchann · Answer

No.7です。ごめん。訂正。

「僕が上でかいたようなことには一切触れてない」と書いたけど、
実際には、
「pとqが3≦p≦4、5≦q≦6
の範囲をくまなく動き得るかどうか」の吟味の記述は
解答わきに補足事項として書いてあった。

kacchann · Answer

この問題ならわかるの？
あなたが掲載した解法は、
ようするに下記の問題に置き換えて解いてます。
これだとさほど難しくはないけれど。

3≦p≦4・・・(ア), 5≦q≦6・・・(イ)のとき
次の値のとりうる範囲をもとめよ
(1)2p－q
(2)2q-3p
(3)(2p-q)+(2q-3p)

(勝手に「書き換えて」いいのかの疑問、
つまりpとqって独立的に値を自由に取りえるの？
(＝いかなるp,qの組み合わせも存在しえるの？)
という点について気になるのであれば下記リンク参照。
気にならないなら見る必要ない。直感でわかるよ、という人もいると思う。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1281021017 
東大理系合格者レベルでないとおそらく納得できない。
これについては、No.5さんのように図で考えてもいいと思います。
いろいろやってみて)

解
(1)ア×2、イ×－1を計算してこれを辺辺くわえる
(2)(3)省略
---

で、次に問題になるのは、
どうして上記のように計算して解いて「いいのか」ということになると思うんだけど、
(※直感的にわかるかもしれんけど、)
おきらくに深く考えずに計算やってると(3)が納得いかないかもしれない。

考えてみたところ、
おそらく、ルールは、
次のようになるとおもう。
(自信ない。なんとなく直感で考えた。あんまり数学得意じゃないので^^)
---

・互いに独立して動ける変数があったとする。たとえばpとq。
この2変数それぞれから成る関数f(p)とg(q)の「値」は、
これも、互いに独立して動く(＝一方が他方の影響を受けない)。
(※例1:xとyが独立してるならkxとy^2も互いに独立している。
例2：このルールからすれば、2x-yとxが「独立してるかどうか」は
すくなくとも「わからない」。)

・独立して動く複数のもの、たとえばpとq、の動ける範囲が
それぞれ
a<p<b, c<q<d・・・(i)
であるとき、
「この独立して動く複数のものの和」のとりうる範囲の上限下限は、
それぞれの「独立要素」の上限下限それぞれの和である。
(たとえばp+qの範囲は(i)の2つの不等式の辺辺を加えたもの。
ようするにa+c<p+q<b+d)

---
＞与えられた２つの不等式を連立方程式のように解くと正解と合わないので

すぐ上に書いた二項目に注意しながら解く必要がある。
単純ではない

http://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-10583752316.html
うっかりすると正しい答えがでてこない

---

すでに回答あるように、
グラフで解くのが一般的。
この本の解法はわざとらしすぎるばかりか、
厳密に正しいのかどうかを理解するのでさえ、
難しすぎる。
上にも書いたけど
東大理系合格者レベルくらいの厳密君じゃないとムリかと。

ミスもしやすい。(3)の解法は、
図で考えないとミスする気がする。

この本の解法を取る受験生は
ほとんどいないと思う。

MarcoRossiItaly · Answer

No.1さんなど皆さんがおっしゃっているとおり、x、yの不等式で定まる領域を描いて、線形計画法で求めるのが普通の方法です。

あえてp、qを導入することを考えると、上の領域を描いたその図中に、2x+y=pと3x+2y=qを「追記」してやれば、p、qへの変数変換により質問文どおりに解ける理由も分かるかもしれません。

2x+y=pは、2x+y=3と平行、2x+y=4とも平行な直線です。また、3x+2y=qは、3x+2y=5と平行、3x+2y=6とも平行な直線です。当たり前ですね。

この「平行」という状況を踏まえると、pがいくつであっても、qは5≦q≦6の範囲で「任意の」値を取ることが可能だと、図を見て分かります。なおかつ、qがいくつであっても、pは3≦p≦4の範囲で「任意の」値を取ることが可能だと、図を見て分かります。

今度はx、yの値について同じ図を見ながら考えると、その領域のxには最大・最小が存在し、同じ領域のyにも最大・最小が存在することが分かります。さらに、xが最大のときにyは最大ではないし、xが最小のときにyが最小でないことも分かります。

以上のことは、やはり図が描けなければ、理解は困難だと思います。ですから他の回答者さんのおっしゃるとおり、フツーに線形計画法での解法を「先に」覚えることをお勧めします。

178-tall · Answer

おそらく、ベクトルの内積を活用しようという方法なのでしょう。

たとえば、2x+y はベクトル s = (2, 1), t = (x, y) の内積に相当。
　p = (s・t)
不等式 3≦p などで半平面を指定できる。

有用な命題群を揃えておかないと、この「内積法」を使いこなすのは難しいような気もします。
以上、単なる感想に過ぎませんけど…。

alice_44 · Answer

No.1 さんも書いているが、そんな阿呆な解法は真似しないほうがいい。
x,y の一次不等式が xy平面上でどんな図形になるかを知っていれば、
グラフを描いて簡単に求めることができる。
(一次不等式のグラフを知らなければ、勉強しとかないといけない。)

x,y を p,q に変数変換すると質問文中のように解ける理由は
「一次変換が半平面を半平面に写すから」なんだけども、
この説明を理解するためには、当初の問題を解くよりも学年が進んだ
知識を必要とする。ほっとこうよ。

suko22 · Answer

そういうときありますよね。
そんなときはこういう問題のときはこういう風にして解くと一応覚えておくとよいと思います。
あんまり考えてもわからなかったらそうしておくのです。もっと数学の勉強が進んでいったとき、改めて振り返るとあのときのあれはそういうことだったのか、と気づくことがよくあります。

と前提はここまでにして、私なり考えてみました。
合っているかわかりませんが、説明してみます。

＞3≦2x+y≦4, 5≦3x+2y≦6

xとyはそれぞれいろんな値をとるのでこのままではｘの範囲を求めよといわれてもよくわかりません。
そこで2x+y=p,3x+2y=qと置くことにより、3≦p≦4, 5≦q≦6とかけます。

ｐとｑは一変数の範囲と見れるので、不等式として見やすくなります。
このｐ、ｑの範囲で2x+y=p,3x+2y=qを満たすときのｘの範囲を求めよ、という問題にすり代わったと考えることはできませんか？

x=2p－qとすれば、あとはｐとｑの範囲は指定されているので、解答のように機械的にあとは計算すれば言いだけです。

ちょっとうまく説明できた感が私にないのですが、なにかの理解の助けになれば幸いです。
（もし間違っていたらすみません。こんな説明でいいのかちょっと自信がないのでこの解説を採用するかどうかは自己責任でお願いします。）

＞また、与えられた２つの不等式を連立方程式のように解くと正解と合わないので、間違っているのでし＞ょうが、どうしてそのようにするのがマズイのでしょうか。

連立方程式のようには解けないと思うのですが。もし疑問ならその解き方示して別途質問してください。

疑問点2は上記のことが理解できれば解決できるのではないかと思います。

あとこの問題は一次関数の領域の問題として考えてもいいような気がします。
y≧-2ｘ+3など他３つの重なる領域を示して、図よりｘ、ｙの範囲を求めます。

ｘ+ｙの範囲はｘ+ｙ＝ｔとおいて、ｙ＝-ｘ+ｔとおいて上記の領域を通過するｔの範囲の最大値と最小値を出せば求まると思います。

mister_moonlight · Answer

質問者は　高校1年生なんだろうか？
高校2年以上なら、こんな解き方をしなくても　座標平面上に図示すれば簡単に行く。
線型計画法の基本問題、といってもよいだろう。
それが普通の解法だろうが、それをやらないという事は、座標を習ってないという事だろう。

何でこんな解法をするのか？と、いう質問には
普通はこんな解法はしない。普通は　座標を使って解く。
それを習ってない人向けの解答で、そうすれば巧く行くから。この方法も　一つの定石‥‥‥と答える。

ごちゃごちゃ言ってないで、そうすれば巧くいくから、と思ってたら良い。
高校数学には、能書きを言う前に憶えて置いたらよい方法＝定石がある。

(結論)
どうしても、その方法に納得できなければ　君自身で　君が納得できる解法を　考えださなければならない。

高校数学 不等式の操作について

No.6です。

No.7です。

この問題ならわかるの？

No.1さんなど皆さんがおっしゃっているとおり、x、yの不等式で定まる領域を描いて、線形計画法で求めるのが普通の方法です。

おそらく、ベクトルの内積を活用しようという方法なのでしょう。

No.1 さんも書いているが、そんな阿呆な解法は真似しないほうがいい。

そういうときありますよね。

質問者は 高校1年生なんだろうか？

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