正八角形？

正八角形の頂点を頂点とする三角形について、次の各問いに答えよ。
（３）正八角形の一辺だけを共有する三角形はいくつあるか。
（４）正八角形と辺を共有しない三角形はいくつあるか。

解法が分からないです。回答、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： suko22 回答日時： 2012/09/17 15:34

簡単な八角形の図を描いてください。

(3)正八角形の頂点をＡＢＣＤＥＦＧＨとします。
　1辺だけを共有するとき、例えば辺ＡＢだけを共有する場合を考えます。（添付図を参照してください）
　するともう一つの頂点はＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇの4通りになります。だから辺ＡＢを辺にもつ三角形は4つ。
　同様に辺ＢＣ，ＣＤ，・・・ＧＨについて考えると各4つになるから、8*4＝32個

(4)（正八角形と辺を共有しない三角形の数）＝（すべての数）-｛（辺を1辺だけ共有する場合）+（辺を2辺共有する場合）｝とかけます。（注意：辺を3辺共有する三角形はありません）

すべての数というのは条件なしに正八角形の頂点8個を使った場合、何個の三角形が出来るかということです。三角形を作るには頂点が3個あればいいから、つくれる三角形の個数は正八角形の頂点8個の中から3個選び出す組み合わせに等しくなる。よって、8C3=56個

1辺だけ共有する場合は(3)で導出済み。32個

2辺を共有する場合、正八角形の隣り合わせの辺を2辺選ぶと自動的に三角形が1つできる。正八角形から隣同士の2辺を選ぶ選び方は、図を描くと8個とわかる。（添付図を参照してください）

よって、56-32-8＝16個

この回答へのお礼

添付図をつけてくださってありがとうございます。
とてもわかりやすいです。

まず、簡単な図を描くことが大事なのですね。覚えておきます。

ありがとうございました。

お礼日時：2012/09/17 16:02

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/09/17 15:29

全ての三角形の数は、８個の頂点から３個を選ぶ選び方になります。

一辺だけを共有する三角形は、この８角形をＡＢＣＤＥＦＧＨとすると、例えば辺ＡＢを共有する三角形を考えます。もうひとつの頂点を選ぶときにただ一辺を共有するにはＣとＨは選べない（二辺を共有してしまうので）ので、選べるのはＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇの４通りです。共有する一辺の選び方は８通りあるので、一辺だけを共有する三角形は
８＊４＝３２個

二遍を共有する場合、三角形の頂点の選び方は隣接する３頂点（例えばＡＢＣ）なのでその選び方は８通りになります。

辺を共有しない三角形の数は
（全ての三角形の数）－（一辺を共有する三角形の数）－（二辺を共有する三角形の数）
となります。三辺を共有というのはありませんから。