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電気容量C[F]のコンデンサーを起電力V[V]の電池で充電するとき,抵抗で生じるジュール熱を求めよ。




解き方を教えてください

※添付画像が削除されました。

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A 回答 (6件)

別解です。



電位差 V の定義から、電源から放電する電荷をQとすると、電源から放電するエネルギーEは VQ
CV = Q だから コンデンサに充電するときに電源から放電するエネルギーは E = CV^2

#1ボルトとは1クーロンの電荷に1ジュールのエネルギーを与える電位差

コンデンサに蓄えられるエネルギーは、コンデンサの両端の電圧を v, コンデンサに蓄えられた
電荷をq とすると

dq = Cdv だから
∫[0→V](v・dq/dt)dt = ∫[0→V]qdv = ∫[0→V]Cvdv = (1/2)CV^2

以上からエネルギー保存則より

抵抗が消費するエネルギーは C^2 - (1/2)CV^2 = (1/2)CV^2
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No.1 です。



>ラプラス変換と電流のつながりがわかりません

ラプラス変換でインピーダンスを表すと

抵抗: R
コンデンサ: 1/(sC)
抵抗とコンデンサの直列: R + 1/(sC)

なので電流のラプラス変換はオームの法則を形式的に使って求められます。

I = V/(R + 1/(sC))

これをラプラス逆変換すれば 電流が求まります。
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コンデンサCを抵抗Rを通して電圧Vまで充電する時の電流と、電圧Vまで充電されたコンデンサCから抵抗Rを通して放電する時の電流は同じです。


したがって、抵抗で発生するエネルギーは電圧Vまで充電されているコンデンサCが持っているエネルギーに等しくなります。
コンデンサのエネルギーは 0.5*C*V*V

これから分かるように、この場合に抵抗で発生する熱量は抵抗値に依存しません。
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この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました

お礼日時:2012/10/09 17:20

電源(電池)を、"電荷を送り出す「仕事」をする装置"として考えるのです。


電源の端子電圧がV[V]のとき、この電源が電荷q[C]を送り出したとします(イメージとしては+極から電子を吸いこみ、-側から送り出しています)。
このとき、電源がした仕事Wは
 W=q・V[J]
となります※。
 
コンデンサーに蓄えられる電荷Q[C]は、電源が送り出したものですから、コンデンサーが充電される過程で、電源は
 W=Q・V[J]
の仕事をしたことになります。
 
仕事をされた物体は、その仕事の分だけ運動エネルギーを得るはずですから、送り出された電荷は運動エネルギーをW[J]持っていたはずです。が、本問では、充電が完了した後、電荷はコンデンサーの極板に"静止"していますから、充電の過程で、その運動エネルギーは別のエネルギーに変換されているはずです。
1つはもちろん、コンデンサーの静電エネルギー U=(1/2)Q・V
そしてさらに、電荷が回路を流れるときに抵抗を通過するため、その過程で熱エネルギー(ジュール熱)が発生しています。
 
エネルギーの保存則から
 回路の抵抗で発生する熱エネルギー=W-U
となるでしょう。 
 
※電源電圧と同じ電位差にある空間の2点O,Pを考えます。電位は、PがOよりV[V]高いとします。いま。+q[C]の電荷をPに置いて、そっと離したとします。電荷はOに向かって静電気力を受けて加速します。電場が仕事をしたわけです。
電位差V[V]とは、単位電荷が電位差に従って移動する時、単位電荷に対してV[J]の仕事をする電位差のことですから
 電荷が受けた仕事=電場がした仕事=q・V[J]
電源から電荷が送り出されるときも、同じ考え方を使えるはずです。
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この回答へのお礼

できました
ありがとうございました

お礼日時:2012/10/09 17:19

まず、最終的にコンデンサに蓄えられる電荷Qを求めます。



次に、電池が電荷Qを移動させる仕事の大きさWを求めます。

コンデンサにQの電荷を蓄えた状態のエネルギーUを求めます。

ジュール熱=W-U
となります。

この回答への補足

QはCVですね
Wはどうやって求めるのでしょうか?

補足日時:2012/10/09 10:39
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抵抗値は R とします。



電流は i は ラプラス変換などを使って求めると i = (V/R)e^(-t/(RC))

抵抗のジュール熱 = ∫[0~∞]i^2・Rdt = (1/2)CV^2

結局、抵抗値は無関係になります。
また抵抗で生じる熱とコンデンサに蓄えられるエネルギー((1/2)CV^2)
は同じになります。

この回答への補足

すみません、一応ラプラス変換の方法くらいは分かるのですが、ラプラス変換と電流のつながりがわかりません

補足日時:2012/10/09 10:39
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Q高校物理、コンデンサー回路とジュール熱について

物理の問題でどうしても分からないのでどうか教えてください

コンデンサー1(電気容量c)、コンデンサー2(電気容量2c)、抵抗器(抵抗2r)が直列回路を形成しています。はじめコンデンサー1には2cvの電気量が蓄えられ、コンデンサー2は電荷はたまっていませんでした。十分時間が経過した後のコンデンサー2に溜まった電荷、抵抗器で消費されたエネルギーをもとめよ。

という問題がありました。解答をみると
電荷保存から、コンデンサー2に溜まった電荷は4cv/3 コンデンサー1には2cv/3
となっていたのですが(ちなみに抵抗器で消費したエネルギーは4cv'2/3でした)、
抵抗器で消費したエネルギーがあるのに、電荷保存って成り立つのですか?

そもそも抵抗で消費されるエネルギーとはどんなものですか?
電荷とは関係の無いものなのですか?

間の抜けた質問だったらすいません
どうか教えてください。

Aベストアンサー

2つのコンデンサー A(容量c),B(容量2c)
a   b
|   |
=   =
|   |
a'   b'

・まず、コンデンサーAの端子a,a' に電源につないで充電します。
  電源電圧は2vです(・・・変な設定ですね。vでいいはずですが)。
  aの方を(正)だとします。
・電源を切り離してコンデンサーBと接続します。
  aとb、a'とb' をつなぎます。
  a,bの間に抵抗(2r)を挟みます。
  これで回路ができます。

・aには+2cvの電荷が溜まっていました。bには電荷がありません
 aからbに電荷が移動します。しかし、初めにあった電荷2cvはなくなりません。a,bの両方に別れて存在するだけです。電荷の保存が成り立つというのは大きな原理です。aとa'をつないだのであれば+、-が打ち消しになりますがaとbをつないでいます。qa+qb=2cvです。

・qa、qbはどういう風に決まるでしょうか。
 Aの極板の間の電位差とBの極板の間の電位差が等しいという条件から決まります。
 qa/c=qb/2c
 この2つの式を連立させるとqa=2cv/3、qb=4cv/3が得られます。
この時の電位差はv'=2v/3です。

・A,Bの間に抵抗がなければA,Bの間の電荷の移動がいつまでたっても収まらなくなります。振動電流が流れ続けるのです。

・電流が抵抗の中を流れるとジュール熱が発生します。
 電位差が等しいという条件が成り立つと電荷の移動がなくなりますので熱の発生もなくなります。
 
・初めに2cvの電荷をコンデンサーAに溜めていた時のエネルギーとqaをAに,qbをBに溜めている時のエネルギーの差が抵抗で失ったエネルギーです。
(1/2)c(2v)^2 - {(1/2)c(v')^2+(1/2)2c(v')^2}
 =(4/3)cv^2

・この辺の事情は連通管と水で考えるのが理解しやすいでしょう。
コックでつながった太さが一様なガラス管C,Dを考えます。C,Dはコックでつながっています。
Dの断面積はCの2倍です。
初めコックを閉じておきます。Cに水を深さがhになるように入れます。
コックを開くと水がCからDに移動します。水の移動が収まった時の水の深さはいくらになるでしょうか。
C,Dをつなぐパイプが太いと液面が振動します。
細いとゆっくりと液面が変化して液面の振動がほとんど起こらないようになります。
どちらの場合でも移動が収まった時の深さは同じになります。液面は落ち着くまでの時間に違いが出てくるのです。

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a   b
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Q電池のする仕事とコンデンサーの静電エネルギー

はじめ、電池が繋がっていないコンデンサーAPとBPがあり、BPは接地されています。
APの容量をC/2 BPの容量をCとします。

また、はじめ、APの電荷はCV
BPの電荷は1/2CVとします。

いま、このコンデンサーに電圧Vの電池を2つ取り付けます。
その後十分時間が経過すると、
APの電荷は5/6CV BPの電荷は1/3CVとなります。

ここで、電池のした仕事を求めたいのです。

方法1
電池のした仕事は、⊿QVなので、
⊿Qは極板Aの電荷変化(Bの電荷変化)だから、
5/6CV-CV=-1/6CV
よって求める仕事は-1/6CV*2V=-1/3CV^2

方法2
第一法則より、外界の電池のした仕事は、
回路で発生した熱と内界の静電エネルギーの変化と等しいので、
求める仕事は、1/2[ 2*(5/6CV)^2/C + (1/3CV)^2/C - 2(CV)^2/C - (1/2CV)^2/C ]
=-3/8CV^2

しかしこの2つの方法で仕事が一致しません。
どこが間違っているのでしょうか。
数式が見づらくてすいません。CVは分子です。

よろしくお願いします。

はじめ、電池が繋がっていないコンデンサーAPとBPがあり、BPは接地されています。
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ここで、電池のした仕事を求めたいのです。

方法1
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よって求める仕事は-1/6CV*2V=-1/3CV^2

方...続きを読む

Aベストアンサー

電池のした仕事として正しいのは方法1です。
方法2のようにコンデンサに蓄えられたエネルギーを計算すると、電池のした仕事より小さくなります。その差は、充電経路のどこかにある抵抗に消費されます。

もっと簡単な例で、電圧源Vから電荷Qを静電容量Cに充電したとき、電源から供給するエネルギーはQVですが、コンデンサに溜まるエネルギーはQV/2です。その差のQV/2は充電経路で消費されます。

充電経路に抵抗を入れて計算してみて下さい。抵抗の大きさによって充電に要する時間は変わりますが、一回の完全な充電に際して抵抗が消費するエネルギ-は抵抗の大きさに依存しません。抵抗が小さければ大きなエネルギーが瞬時に消費され、抵抗が大きければ小さなエネルギ-が長時間に亘って消費されますが、その総量は一定です。

理想的な電池は何があっても電圧が変わらないものとして定義され、理想的なコンデンサは端子間電圧が充電されている電荷に比例するものとして定義されます。理想的なコンデンサに理想的な電池を直接繋いでコンデンサの両端電圧を一瞬にして変化させようとすれば、定義によって電荷は一瞬に移動しなくてはなりません。そんなことは不可能ですから、理想的な電池を理想的なコンデンサに直接繋いではいけません。

電池のした仕事として正しいのは方法1です。
方法2のようにコンデンサに蓄えられたエネルギーを計算すると、電池のした仕事より小さくなります。その差は、充電経路のどこかにある抵抗に消費されます。

もっと簡単な例で、電圧源Vから電荷Qを静電容量Cに充電したとき、電源から供給するエネルギーはQVですが、コンデンサに溜まるエネルギーはQV/2です。その差のQV/2は充電経路で消費されます。

充電経路に抵抗を入れて計算してみて下さい。抵抗の大きさによって充電に要する時間は変わりますが、一回の完全な充...続きを読む

Qジュール熱と電力

ジュール熱は、消費した電力量と等しいというのは何故なんでしょうか?

ジュール熱(J) = 電力量
         = 電力×時間
         = 電圧×電流×時間

この式の最初の段階で詰まってしまいました。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

熱とは、物質構成分子の運動エネルギーだ。個々の分子が速度を持って運動し、互いにぶつかる結果、ランダム運動になってマクロ的には物体が動かないだけ。(複数原子で構成されてる分子は回転運動もできるのでそれにもエネルギが分配されている。)

導体の電気抵抗は構成原子の結晶の欠陥だ。あるいは格子原子が熱でランダム振動(自由に飛び回れないが)して格子が乱れてる状態。
金属内の電流は電子の流れだとすれば、電圧によって電子が加速され、欠陥にぶつかって速度エネルギを渡す。また加速され次の欠陥にぶつかる。このようにして通る場合は電流は必ず発熱を伴う。

力学の運動エネルギーは速度の2乗mV^2/2で、電気の発熱は電流の2乗I^2R。分かりますか。

Qコンデンサに蓄えられるエネルギーと抵抗での消費エネルギー

電気回路の基礎だと思うのですが、コンデンサに蓄えられる
エネルギーと抵抗で消費されるエネルギーは同じですよね。

それで試しに計算してみたのですが、どうも違う値が出てしまいます…。
そこで、私の計算が間違っているのかどうかご指南していただきたいと思い
質問させていただきました。

直流電圧17[kV]にR=60[kΩ],C=1[mF]を直列に接続した回路を考えた場合で、
コンデンサ充電電圧が5[kV]になったら直流電圧が切り離される
回路を考えます。

コンデンサに蓄えられるエネルギーは1/2*C*V^2ですからWc=12500[J]となります。
次に抵抗で消費されるエネルギーなんですが、I^2*R*tで表されますので、
回路に流れる電流値I=V/R*exp(-1/RC*t)を二乗しまして、
それにRをかけてコンデンサに5[kV]たまるまでの時間までの間を
積分しました。
そうすると消費されるエネルギーはWr=76090となりました。
少しあらい積分なので多少の誤差は出るものだとは思いますが
さすがに5倍以上の誤差はどうかと思います。

しかし、私の計算が間違ってる可能性も十分にありますので、
どこか間違っていましたらご指摘くださいますようお願いします。

電気回路の基礎だと思うのですが、コンデンサに蓄えられる
エネルギーと抵抗で消費されるエネルギーは同じですよね。

それで試しに計算してみたのですが、どうも違う値が出てしまいます…。
そこで、私の計算が間違っているのかどうかご指南していただきたいと思い
質問させていただきました。

直流電圧17[kV]にR=60[kΩ],C=1[mF]を直列に接続した回路を考えた場合で、
コンデンサ充電電圧が5[kV]になったら直流電圧が切り離される
回路を考えます。

コンデンサに蓄えられるエネルギーは1/2*C*V^2です...続きを読む

Aベストアンサー

コンデンサの蓄積エネルギーと、抵抗での消費エネルギーが一致するのは、電源電圧までコンデンサの充電を完了した場合(今回は17kVまで充電を完了した場合)だったかと思います。
電圧が途中の時点では、両者に差があっても良いのではないかと。

Qコンデンサーと静電エネルギーについて

物理IIを学習している高校生です。

授業でコンデンサーに充電するときのエネルギーの関係について学びました。

電気容量C(F)のコンデンサーを電位差V(V)の電池につないでQ(C)の電気量をコンデンサーに蓄えたとき、電池がする仕事はW=QV、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーはその半分の(1/2)QVになる。残りの半分は導線の抵抗によるジュール熱の発生に使われている。

と習いました。しかし、なぜほとんど抵抗がないように作られているはずの導線を通しているのに半分もエネルギーが失われてしまうのか直感的に理解できません。もし、抵抗が全くない導線(超伝導など?)を使ったらどうなるのでしょうか?


また似たようなことなのですが、充電し終わったコンデンサーを別の充電されていないコンデンサーに接続すると、必ず静電エネルギーが失われますよね?これもどこでエネルギーが失われているのかわかりません・・・。上と同じように抵抗0の導線を使えばエネルギーの損失をなくすことができるのでしょうか?


このあたりは複雑なので水流モデルで理解したいと考えているのですが、どうにもうまくいきません。コンデンサーを並列につないだときの静電エネルギーの減少はどうしたら水流モデルで考えることができるでしょうか。


一部でもいいので答えていただけると幸いです。

物理IIを学習している高校生です。

授業でコンデンサーに充電するときのエネルギーの関係について学びました。

電気容量C(F)のコンデンサーを電位差V(V)の電池につないでQ(C)の電気量をコンデンサーに蓄えたとき、電池がする仕事はW=QV、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーはその半分の(1/2)QVになる。残りの半分は導線の抵抗によるジュール熱の発生に使われている。

と習いました。しかし、なぜほとんど抵抗がないように作られているはずの導線を通しているのに半分もエネルギーが失われてしまうのか...続きを読む

Aベストアンサー

 #4です。高校物理の教科書は不親切だと文句たれておきながら、自分の方が不親切でした。

>しかしそうするとなぜ電池がした仕事が「(1/2)QV」になるのかますますわからないです。やはりこれは間違っているという解釈でいいでしょうか??

 ハイ!。その通りです!。

 しかし#2さんの仰る事も、恐らく本当なんですよ。理由は#3で書いたように、現実の材料は無限大の電流は流せないからです。

 でもジュール熱が無視し得るくらいに小さくなると、コンデンサーは一瞬で充放電される状態に近くなるので、電流の時間変化は非常に大きくなります。この時は電磁波によるエネルギー散逸が無視できなくなり、結局#1さんの抵抗値によらないエネルギーロスと同じ結果になります。


 言い訳しますか・・・。

>ここで再び数学的なC回路は復活し、電池のした仕事は近似的に、「(1/2)QV」という事になります。

 これを書いた時、電磁波によるエネルギー散逸の事は忘れていました。というのは通常の電気回路理論では、回路電流の時間変動に起因する電磁波の発生を無視するからです。ふつう電磁波の発生は、抵抗Rなどが十分大きくて電流の時間変化は十分小さく、無視できます。

 なので、コンデンサーに貯まる静電エネルギー(1/2)QVと、抵抗Rによるエネルギーロス(抵抗値によらない)(1/2)QVで、電池のした仕事はQVと考えるのが、わかり良いと思いました。

 この時点では、最初からR=0の数学的Cモデルでは、電池のした仕事は(1/2)QVにならざる得ません。通常の電気回路理論では、回路電流の時間変動に起因する電磁波の発生を「無視」するからです。

 この時点では、CC回路だって最初の静電エネルギー(1/2)QVを、仲良く(1/4)QVずつ分け合うのさ、などと「呑気に」考えていました(エネルギーロスなしに)。

 で、ふと・・・、静電容量C=Cで電荷それぞれQ/2なら、電圧もQ/2/CになるからEc=(1/8)QVでしょう!、と気づいた訳です。あわてふためいて見直すと、CC回路の話であるべきところが、LC回路の話にもなってました・・・。あわてた・・・。


 LC回路の記述は、#1さんの最後の段落です。

 最初からR=0とする数学的なLC回路は、現実に妥当します。19世紀にコールラウシュが、現実のLC回路の結果をもとに、光速度を計算しています。もっともコールラウシュは、その値が光速度だとは気づいていませんでした・・・。


 余談ですが、誘電現象による静電エネルギーの減少とは、次のような話です。

 平行平板コンデンサーの極板間に誘電体を挿入すると、コンデンサーの静電容量Cが上がります。紙の束なども誘電体で、たいていの電気を通さない有象無象の物体は誘電体です。

 適当な誘電体を極板間に挿入すると、コンデンサーの静電容量Cを、例えば2倍の2Cにできます。電池電圧Vで充電された後、回路スイッチを切られたコンデンサーを考えます。そのコンデンサーに適当な誘電体を挿入すると、静電容量は2Cになりますが、貯まっている電荷Qは同じです。充電された後、回路スイッチを切られているからです。

 そうするとそのそのコンデンサーの電圧は、誘電体を挿入した瞬間に静電容量が2Cになるので電圧はV/2になります。従って誘電体を挿入すれば、コンデンサーの静電エネルギーは(1/4)QVです。

 極板上に貯まった電荷量Qは同じなのにも関わらず、です。・・・不思議でした。


 この状況は、電圧Vで充電されたコンデンサーを、未充電のコンデンサに並列接続するCC回路の状況と、全く同じなんです。なぜ並列接続かは電荷の符号でわかると思いますが、コンデンサーの静電容量Cが、極板面積をS,極板間距離をdとして、S/dに比例するのはご存知と思います。

 二つのコンデンサを並列接続するという事は、極板面積が2倍になるので、1個のコンデンサの静電容量が突然2倍になるのと同じです。でも誘電体を挿入する方には、以下のような解釈が可能です。


 誘電体を極板間に挿入すれば、極板間では電荷Qの電場が働くので、誘電体の電子と陽子の分布に偏りを生じさせ、誘電分極が起こります。誘電分極の結果は、極板の電荷Qによる電場を打ち消すような電荷の出現とみなせるので、コンデンサーの静電容量は増加します。電圧も下がります。

 静電エネルギー(1/4)QVのロスは、誘電体の誘電分極に使用された、とみなせます。しかし誘電分極は、電子と陽子の移動という原子内レベルでの使用なので、使用エネルギーは保存されるはずです。

 実際に誘電体を極板から引き抜けば、コンデンサーの静電エネルギーは(1/2)QVへ回復します。では(1/4)QVのエネルギーは、どこへ戻されたのでしょうか?。

 極板ではありません。極板上には終始一貫して電荷Qがあり、極板の状態は、誘電体の有る無しに関わらず同じだと考えられます。という事は、(1/4)QVの静電エネルギーは、極板間の空間に戻された、もしくは極板間に存在している電場に戻された、と考えざる得なくなります。


 このように現在の物理は、とっても意外な結果を導きます。誘電体のないコンデンサーの並列接続の場合、似たような発想で、(1/4)QVのエネルギーは電磁波によって持ち去られたと結論せざる得ません。

 これはじつは、エネルギー保存則を信じた、後付けの結論なんですよね。他に原因がないという・・・(^^;)。

 #4です。高校物理の教科書は不親切だと文句たれておきながら、自分の方が不親切でした。

>しかしそうするとなぜ電池がした仕事が「(1/2)QV」になるのかますますわからないです。やはりこれは間違っているという解釈でいいでしょうか??

 ハイ!。その通りです!。

 しかし#2さんの仰る事も、恐らく本当なんですよ。理由は#3で書いたように、現実の材料は無限大の電流は流せないからです。

 でもジュール熱が無視し得るくらいに小さくなると、コンデンサーは一瞬で充放電される状態に近くなるので、電...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q誘電体に働く力がわかりません

「面積S、横幅Lの導体平板が2枚、間隔dを空けて存在する並行平板コンデンサがある。このコンデンサに電圧Vを印加しながら、コンデンサの右端からxのところまで、誘電率εの誘電体で満たした。真空中の誘電率をε0として、誘電体に働く力Fの方向を求めよ。」
という問題がわかりません。

コンデンサに電荷Qを充電して、電源を外し、誘電体を入れる場合には、コンデンサの静電エネルギーW=(Q^2)/2Cであることから
  F = -∂W/∂x > 0
よって誘電体に働く力の向きはxの増加する方向(コンデンサに引き込まれる方向)だと思いました。

ですが、電圧Vを印加したままの状態だと、コンデンサの静電エネルギーW=C(V^2)/2なので
  W = {εSx/(d×L)+ε0S(L-x)/(d×L)}(V^2)/2
  F = -∂W/∂x
= SV^2/(2d×L)(ε0-ε)<0
よって誘電体に働く力の向きはxの減少する方向(コンデンサから追いやられる向き)だと思いました。
これであっているのでしょうか?

Aベストアンサー

考え方が間違っている。

コンデンサの静電エネルギーの変化と誘電体の運動エネルギーの和は保存しません。
保存量でないためF=-∂W/∂xとはできません。

電源がつながっている状態では電源自体が仕事をするのでその影響を考えないといけないのです。
電源がした仕事=コンデンサの静電エネルギーの増加+誘電体の運動エネルギーの増加
になります。
誘電体が中に入った時、コンデンサの静電エネルギーは増大しますが電源の行った仕事はそれ以上に大きいため誘電体の運動エネルギーは増大します。
(電荷量の増加⊿Qとすると電源の行った仕事はV⊿Qとなります。コンデンサの静電エネルギーの増大は(1/2)V⊿Qですので誘電体に(1/2)V⊿Qの仕事がなされるのです。)

Qコンデンサーの静電エネルギーと抵抗の関係

某大学過去問を解いていて質問です。

「同じ電気容量の平行板コンデンサーA、Bがあり、一方のコンデンサーAを電源につないで充電後に電源から切り離し、この図のように放電してあるBと導線で接続してある。一方の極板を接続する導線には抵抗が挿入してあり、他方は導線のみである。十分に時間がたって極板間の電位差が変化しなくなったとき、それぞれに蓄えられる静電エネルギーUAとUBの和は、接続に用いた抵抗の抵抗値と関係あるか。」

という問いに対し、模範解答は「関係ない。接続してから十分に時間がたった後にコンデンサーAとBに蓄えられる電気量は、コンデンサーの電気容量で決まり、抵抗値には無関係だからである。」とあります。式では


UA=q1V’/2=q1^2/(2C’)=Q’^2/(8C’)
UB=q2V’/2=q2^2/(2C’)=Q’^2/(8C’)
これよりUA+UB=Q’^2/(4C’)

となり、抵抗の値に関係ない。」

とあります。確かに式を見ればそうなるのはわかるのですが、イメージの面でひっかかります。コンデンサーAからBに電子が移動するとき、抵抗を通るはずだから、ジュール熱が発生しそうなので、静電エネルギーの総和は抵抗が大きければ大きいほど減ってしまいそうな気がするのですが、ジュール熱でエネルギーは損失しないのでしょうか。ご教授お願いいたします。

某大学過去問を解いていて質問です。

「同じ電気容量の平行板コンデンサーA、Bがあり、一方のコンデンサーAを電源につないで充電後に電源から切り離し、この図のように放電してあるBと導線で接続してある。一方の極板を接続する導線には抵抗が挿入してあり、他方は導線のみである。十分に時間がたって極板間の電位差が変化しなくなったとき、それぞれに蓄えられる静電エネルギーUAとUBの和は、接続に用いた抵抗の抵抗値と関係あるか。」

という問いに対し、模範解答は「関係ない。接続してから十分に時...続きを読む

Aベストアンサー

抵抗が大きくなると、抵抗を流れる電流iが小さくなります。(抵抗に反比例。)
同時に、電荷が移動するのに必要な時間Tは、抵抗に比例して長くなります。(T∝R。)
結果、抵抗での発熱p=i^2R∝1/Rと抵抗に反比例し、抵抗で消費する全エネルギーU∝p*TはRにかかわらす一定になります。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qコンデンサージュール熱

容量C1のコンデンサーは電圧Vで充電され、容量C2の方は電荷を蓄えていない
スイッチを入れ、十分時間がたつまでに発生するジュール熱Hはいくらか

解き方を教えてください

Aベストアンサー

スイッチを入れる前、
Q=C1V
スイッチを入れた後、
Q=Q1+Q2
Q1=C1V'
Q2=C2V'
ですね
上記までの式からスイッチを入れた後のコンデンサにかかる電圧V'は
V'=C1/(C1+C2)×V
だと分かります。
発生したジュール熱はスイッチを入れる前後でコンデンサが蓄えているエネルギーの差
つまり
1/2×C1V^2(スイッチを入れる前)と
1/2×C1V'^2+1/2×C2V'^2(スイッチを入れた後)との差になります


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