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コンデンサー間に挿入された誘電体に働く力の向きについて質問です。
今、電源(起電力V)、コンデンサー(静電容量C)、スイッチからなる回路と誘電体(比誘電率εr)の出し入れを次の4つの問題設定について、考えます

(Ⅰ) 誘電体を入れてない状態で充電した後、スイッチを開いて誘電体を挿入する
(Ⅱ) 誘電体を入れた状態で充電した後、スイッチを開いて誘電体を引き抜く
(Ⅲ) 誘電体を入れてない状態で充電した後、スイッチを開いて誘電体を挿入する
(Ⅳ) 誘電体を入れた状態で充電した後、スイッチを閉じて誘電体を引き抜く

質問内容は、「(Ⅰ)〜(Ⅳ)のいずれの場合においても、誘電体がコンデンサーから受ける力はコンデンサーに引き込む方向で合っているか」という点です。もし合っている場合、その直観的理由は「誘電分極した誘電体中のそれぞれの電荷がコンデンサーに帯電した異符号の電荷に引きつけられるから」って正しいでしょうか?もし間違っている場合は、どこが違うのか教えていただきたいです。


以下、自分の考察です。
操作前の静電エネルギーをU、操作後の静電エネルギーをU'、電源がした仕事をK=ΔQV、コンデンサーが誘電体がした仕事をW=∫Fdxとすると、以下のエネルギー保存則が成り立つ
U+K=U'+W

(Ⅰ)U=Q^2/(2C)、K=0、U'=Q^2/(2εrC)より、
Q^2/(2C)+0=Q^2/(2εrC)+∫Fdx
⇔∫Fdx=(εr-1)Q^2/(2εrC)
=(εr-1)CV^2/(2εr)>0 (Q=CVより)
ゆえに、Fとdxの正負は一致するので、Fは挿入する方向と同じ方向、すなわちコンデンサーに引き込む方向にはたらく

(Ⅱ)U=Q^2/(2εrC)、K=0、U'=Q^2/(2C) より、
Q^2/(2εrC)+0=Q^2/(2C)+∫Fdx
⇔∫Fdx=-(εr-1)Q^2/(2εrC)
=-εr(εr-1)CV^2/2<0 (Q=εrCVより)
ゆえに、Fとdxの正負は一致しないので、Fは引き抜く方向と逆方向、すなわちコンデンサーに引き込む方向にはたらく

(Ⅲ)U=CV^2/2、ΔQ=Q'-Q=εrCV-CV=(εr-1)CV、U'=εrCV^2/2より、
CV^2/2+(εr-1)CV^2=εrCV^2/2+∫Fdx
⇔∫Fdx=(εr-1)CV^2/2>0
ゆえに、Fとdxの正負は一致するので、Fは挿入する方向と同じ方向、すなわちコンデンサーに引き込む方向にはたらく

(Ⅳ)U=εrCV^2/2、ΔQ=Q'-Q=CV-εrCV=-(εr-1)CV、U'=CV^2/2より、
εrCV^2/2-(εr-1)CV^2=CV^2/2+∫Fdx
⇔∫Fdx=-(εr-1)CV^2/2>0
ゆえに、Fとdxの正負は一致しないので、Fは引き抜く方向と逆方向、すなわちコンデンサーに引き込む方向にはたらく

A 回答 (1件)

(Ⅲ) は (Ⅰ) と同じということですか?


「スイッチを閉じた状態で」の間違いのような気がしますが・・・。

>(Ⅰ) 誘電体を入れてない状態

 →「(Ⅰ) 誘電体を入れていない状態」だと思います。(これは「国語」の話)

>もし合っている場合、その直観的理由は「誘電分極した誘電体中のそれぞれの電荷がコンデンサーに帯電した異符号の電荷に引きつけられるから」って正しいでしょうか?

定性的な現象の説明として正しいと思います。

>以下、自分の考察です。

この「考察」は、上に書いた「定性的な現象の説明」とは関係なく、「定量的に考察した」ということですね? つまり、電源のした仕事と、力のした仕事の分担を定量的に考察したということ。
「エネルギー」と「仕事」の関係では、「誘電分極」による力を説明できるわけではありませんから。

>(Ⅰ)U=Q^2/(2C)、K=0、U'=Q^2/(2εrC)より、

前提条件が明記されていないのでよく分かりませんが、誘電体を挿入する前は「真空」なので
 εr > 1
ということを前提としていますね?
だったら
 ∫Fdx = (εr-1)Q^2/(2εrC)
   = (1 - 1/εr)Q^2/(2C)
で 1/εr < 1 なので ∫Fdx > 0 でよいような気がします。

>(Ⅱ)U=Q^2/(2εrC)、K=0、U'=Q^2/(2C) より、

これは違和感があります。
ここで使っている「Q」とは何ですか?
実際にコンデンサーに充電されている電荷、誘電体を挿入したときのコンデンサーの静電容量とは異なりますよね?

(Ⅰ)(Ⅱ) は確かに「電荷一定」という条件ではありますが、(Ⅰ) と (Ⅱ) では電荷の値が異なります。それを同じ表記とするのは論理的ではない気がします。「C」と「V」は前提条件で与えられている「定数」なのでそのまま使ってよいですが。

実際にコンデンサーに充電されている電荷を Q'、誘電体を挿入したときのコンデンサーの静電容量を C' とすれば
 U = (1/2)C'*V^2

 Q' = C'*V
を使って
 U = (1/2)Q'^2 /C'
また
 C = C'/εr

これらを使って
 U = (1/2)Q'^2 /C'、K=0、U' = (1/2)Q'^2 /(C'/εr) = (1/2)εr*Q'^2 /C'
と書くべきではないでしょうか。
書き方の問題だけで、結論は合っていると思いますが。

(Ⅲ) は「スイッチを閉じた状態で」ということであればお書きの内容でよろしいと思います。

>(Ⅳ)U=εrCV^2/2、ΔQ=Q'-Q=CV-εrCV=-(εr-1)CV、U'=CV^2/2より、

これは (Ⅱ) と違って、初めから C' = εr*C ということで書いているので問題ないと思います。
ただし、最後の結論のところは
 (誤)∫Fdx = -(εr - 1)CV^2 /2 > 0
  ↓
 (正)∫Fdx = -(εr - 1)CV^2 /2 < 0
ですね。
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この回答へのお礼

ベストアンサー遅れてしまい申し訳ありません。ご丁寧にありがとうございます。不安な部分であったので助かりました!

お礼日時:2021/01/24 14:02

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