平行板 電界

4枚の平行板があって両端の極板は接地されていて、内側2枚の極板には左にQ1、右にQ2の電荷あり。
極板間の距離は左からa、b、cで極板の面積はS。
この時間隔bの中央部の電界を求めろ
という問題なんですが解説をお願いしたいです

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます！
  自分でも解いてみたのですが最初の仮定で、一番左端の極板のQaを+Qaにした場合と−Qaにした場合とで最後の答えの分子の符号が逆になるのですが、ここは絶対値付けたほうがいいのでしょうか
  それとも1番左端は+Qaで決まりなのですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/10/16 17:34

• 

  それでは仮定の仕方で答えが2パターンあるということでいいんですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/10/16 20:51

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/16 21:02

No.2 です。

「補足」に書かれたことについて。

＞それでは仮定の仕方で答えが2パターンあるということでいいんですか？

まだ分かっていませんか？
「2パターン」ではなく、どちらも「同じ答」なのです。
「どちらを基準に、どちら向きの電界を表わしているか」の「向き」の違いですよ。

最初の仮定で、「どちら向きを正とするか」を決めているのですから、最初の仮定で「逆向き」を正とすれば、結果の符号は逆になります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/16 18:36

No.1 です。

「補足」を見ました。

「符号の罠」にはまっていますね？

ここでは、与えられた Q1 も Q2 も「正」か「負」かは与えられておらず、「記号」で表わした物理量が「正」とも何とも言っていません。
一方が正電荷、他方が負電荷かもしれません。

従って、あなたのおっしゃる

＞一番左端の極板のQaを+Qaにした場合と−Qaにした場合とで

でも、Qa が「正」なら -Qa < 0 ですが、Qa が負なら -Qa > 0 です。仮定した「+Qa、-Qa」はあくまで「記号でそう置いた」だけであって、どちらが「正電荷」でどちらが「負電荷」かは諸条件（ Q1、Q2 の電荷量、どちらが絶対値が大きいか、極板の間隔 a, c はどちらが大きいか）によって変わります。それは「記号自体」が「正になるか負になるか」と、その前に付けた「符号」とで対応するわけです。

＞それとも1番左端は+Qaで決まりなのですか？

上に書いたように「記号の Qa」が「正」か「負」かによって、「+Qa」は正にも負にもなりますから、どちらにも対応しているということです。
あなたの場合のように「一番左端の極板を -Qa にした場合」とは、単に「記号であらわしたもの」の正負を変えただけであって、実際の正負はその他の条件で決まり、条件によって反転もします。

＞ここは絶対値付けたほうがいいのでしょうか

それはだめです。上に書いたように「正にも負にもなり得る」ようにしておかないといけませんから。


極板間の間隔「a, b, c」のように「明らかに正」である記号もあれば、「電荷」「電圧」「電流」のように「ベクトル」として「正の場合も負の場合もある」記号もあるのです。
#1 の回答では、電荷の符号と電圧の向きをそろえていますので、「電荷の記号」が負になれば「電圧も負」になるはずです。そうしなければ
　Va + Vb + Vc = 0
にはなりませんから。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/16 00:28

4枚の極板に、電荷がどのように分布するのかを求め、内側2枚の電位差を求めて、それを距離（間隔）で割れば電界の大きさが求まります。

極板間の誘電率を ε とすれば、
・左の「間隔：a」の極板間の静電容量は
　Ca = εS/a
・真ん中の「間隔：b」の極板間の静電容量は
　Cb = εS/b
・右の「間隔：c」の極板間の静電容量は
　Cc = εS/c

最左端の極板と2番目の極板との間に充電された電荷を Qa とすると
・最左端の極板の表面に +Qa、2番目の極板の左側表面に -Qa
・電位差は Va = Qa/Ca = a*Qa/εS　　　①

2番目の極板と3番目の極板との間に充電された電荷を Qb とすると
・2番目の極板の右側表面に +Qb、３番目の極板の左側表面に -Qb
・電位差は Vb = Qb/Cb = b*Qb/εS　　　②

3番目の極板と最右端の極板との間に充電された電荷を Qc とすると
・3番目の極板の右側表面に +Qc、最右端の極板の表面に -Qc
・電位差は Vc = Qc/Cc = c*Qc/εS　　　③

極板に与えた電荷の条件から
・2番目の極板：-Qa + Qb = Q1　　　④
・3番目の極板：-Qb + Qc = Q2　　　⑤

電位差の条件から
　Va + Vb + Vc = 0　　　　⑥

これらの連立方程式を解けばよいです。

やってみれば
④より Qa = Qb - Q1
⑤より Qc = Q2 + Gb
これを①③に代入して、⑥に代入すれば
　a(Qb - Q1)/εS + b*Qb/εS + c(Q2 + Gb)/εS = 0
→　(a + b + c)Qb = aQ1 - cQ2
→　Qb ＝ (aQ1 - cQ2)/(a + b + c)

②より
　Vb = b(aQ1 - cQ2)/[(a + b + c)εS]

従って、内側2枚の電極間の電界の大きさは
　Eb = Vb/b = (aQ1 - cQ2)/[(a + b + c)εS]