有理数体の拡大次数について

Q(√a + √b)　/　Q　= 4 （ただし、a,bは互いに素）の証明が、

Q(√a + √b) = { p + q(√a + √b) + r(√a + √b)^2 + s(√a + √b)^3 } となっておりました。

例えば、a=2, b=3の時、(√a + √b)^4の場合、
(√a + √b)^4 = 4 + 4*2√6 + 6*2*3 + 4*3√6 + 9 = 49 + 20√6 もうまく、pqrsを選べば、できるのでしょうが、
なぜ、4項ですべてを表せるとわかるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/12 13:43

「正確にわかるか」と言われたら, それは無理. ただし, ある程度なら想像できる.

例えば, もともとの Q(√a + √b) を考えると, 拡大するために使った √a + √b は代数的数です (√a, √b はどちらも代数的数). したがって √a + √b を解の 1つとする代数方程式が存在し, その次数が拡大次数になります (のはず: http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/ にはそんな感じで書いてある).

で「√a + √b を解の 1つとする代数方程式」の次数を考えるんだけど, 平方根があることから「符号を逆にした片割れ」の存在が想像できます. つまり, √a に対して -√a があるはずです. ということで個々の平方根に対して「符号を逆にした片割れ」を考えると √a + √b, -√a + √b, √a - √b, -√a - √b の 4通りが得られるので, 結局「√a + √b を解の 1つとする『4次』代数方程式」が見つかります. 本当は最小性も言わなきゃならないんだけど, それはパス.

というのがわりときちんとした方針. 大雑把には
「平方根を消すためには 2乗しなきゃならない」→「2個の平方根があったら 2乗を 2回しないとだめ」→「4乗の項が出てくる」→「4次方程式」
という流れです. 当然ですが, 3乗根があったら (3乗しないと消えてくれないので) 3次式が出てきます.

それでもって Ｑ(√a + √b + √c) を考えると, 一般には 8次の拡大体になるはずです. もちろん, もっと次数が低いこともあります (c = ab だと 4次に落ちる).

この回答へのお礼

度々の回答ありがとうございました。
理解はできたとは、まだ、いえませんが、解き方の方針はわかりました。

お礼日時：2012/10/14 11:56

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/10 17:13

「(√a + √b)^4 が p + q(√a + √b) + r(√a + √b)^2 + s(√a + √b)^3 という形で表現できる」ことに気づけば簡単なのでは?

つまり, (Q係数) 4次方程式の解 (の 1つ) だからです.

この回答への補足

回答ありがとうございます．
考え方として，この場合，(√a + √b)^4 が，３乗までの式で作れることを証明すればいいということですか？
式を展開し，pqrsの適当な値を求めるのは，できると思いますが，
それだと，問題の度に，適当な次数を予想し，算出しなければならず，
例えば，Ｑ(√a + √b + √c)だと，次数をどうすればいいのか，全く思いつきません．
　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ(√a , √b , √c)の場合は，理解できるのですが，）
Tacosan様のように，気づくには，なんらかの法則を理解している必要があるのでしょうか？

補足日時：2012/10/12 00:13