この数学の問題を代入する方法以外の方法でわかりやすく教えてください。

a,bを実数の定数とする3次方程式x^3＋ax^2＋bx－5＝0の一つの解が1－2iであるとき、a,bの値を求めよ。また、この時の他の解を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/12/05 21:54

x^3＋ax^2＋bx－5＝0　　（0）

一般に実係数の３次方程式は３つに実解をもつ場合又は１つの実解と共役複素数をなす２つの複素数解を持つ場合の２ケースがあります。問題になっているのは後者のケースで、一つの解が1－2iの時、共役複素数1+2iも解です。従って解をα,β,γとすると
α=1-2i
β＝1+2i
γ：実数
となります。解と係数の関係より
α+β+γ＝2+γ＝-a (1)
αβ+βγ+γα=5+2γ＝b (2)
αβγ=5γ=5 (3)

(3)より
γ＝1
これを(1)に用いて
a=-3
(2)に用いて
b=7

式(0)は
x^3-3x^2＋7x－5＝0
γ＝1より(x-1)が因数になっているのでこれで割り算して整理すると
(x-1)(x^2-2x+5)=0
x^2-2x+5=0の解はx=1±2i
であって、これらはα,βであり、条件を満たしている。

答え
a=-3, b=7
他の解：1+2iおよび1

この回答へのお礼

質問に答えてくれてありがとうございました。

お礼日時：2016/01/06 17:18

No.1 回答者： mazurka 回答日時： 2015/12/05 21:40

１－２iを解にもつから、１＋２iも解にもち、残りの解をαとすると

解と係数の関係から(1－2i)(1+2i)α＝５よりα＝１

よって解と係数の関係から(1－2i)＋(1+2i)＋１＝－a

(1－2i)(1+2i)+(1+2i)・１＋(1－2i)・１＝ｂ

∴a=－３、ｂ＝７

以上から、a=－３、ｂ＝７、

他の解は１＋２iと１です。




※3次方程式ax³+bx²+cx+d=0の解をα、β、γとすると

α＋β＋γ＝－ｂ/a

αβ+βγ+γα=c/a

αβγ=ーd/a　です。

この回答へのお礼

質問に答えてくれてありがとうございました。

お礼日時：2016/01/06 17:18