ラプラス変換の問題がわからなくて困っています

自分でやってみたんですがわからなかったのでここで質問させていただきます。

sin(ωt)・u(t-a)

uの中がt-aとなっていて自分では解くことができませんでした；；
u(t)なら解けるのですが・・・

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/21 18:45

a>0と仮定します．

u(t-a)=0(t<a),1(ｔ>a)

であるから，

∫[0→∞]sin(ωt)u(t-a)e^{-st}dt=∫[a→∞]sin(ωt)e^{-st}dt

ここでt-a=τとおくと，t=a+τ，dt=dτで

∫[0→∞]sin(ω(τ+a))e^{-s(τ+a)}dτ=e^{-sa}∫[0→∞]sin(ω(τ+a))e^{-sτ}dτ

(Im*は*の虚数部分と取ります．とりあえずsも正の実数としておきます．）

e^{-sa}∫[0→∞]sin(ω(τ+a))e^{-sτ}dτ=e^{-sa}Im∫[0→∞]e^{iω(τ+a)}e^{-sτ}dτ
=e^{-sa}Ime^{iωa}∫[0→∞]e^{-(s-iω)τ}dτ
=e^{-sa}Ime^{iωa}[e^{-(s-iω)τ}/{-(s-iω)}]_0^∞
=e^{-sa}Ime^{iωa}/(s-iω)
=e^{-sa}Im{cos(ωa)+isin(ωa)}(s+iω)/(s^2+ω^2)
=e^{-sa}{ωcos(ωa)+ssin(ωa)}/(s^2+ω^2)

よって求めるものは

{ωcos(ωa)+s・sin(ωa)}e^{-sa}/(s^2+ω^2)

となります．

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2012/10/21 18:41

f(t) = u(t－a)を単位ステップ関数とすると・・・、

単に場合分けするだけである。
u(t－a) = 0 (t＜a)
　　　　　= 1 (t≧a)

f(t)のラプラス変換をL(f(t))で表す事にすると、
L(sin(ωt)・u(t-a))
= ∫[0,∞)f(t)・e^(-st)dt
= ∫[0,∞){sin(ωt)・u(t-a)・e^(-st)}dt
= ∫[0,a){sin(ωt)・e^(-st)・0}dt＋∫[a,∞){sin(ωt)・e^(-st)・1}dt
= ∫[a,∞){sin(ωt)・e^(-st)・1}dt

・・・を計算すれば良い・・・！