積分法の問題(改)

積分法の問題をまとめて出されたのですが、
どれもさっぱりわかりません…。
５問あるのですが、どれか１つでもわかる方がいらっしゃいましたら、回答していただけるとありがたいです。考え方だけでも、大歓迎です。

Q１．次の面積を求めよ。
(1)曲線 y=x^3＋x^2－2x と x軸とで囲まれる部分
(2)(x-1)^2＋(y-2)^2≦5 かつ y≧2^x で表される領域

Q２．曲線C:y=－x^2 と D:y＋a=(x－a)^2 が相異なる２点で交わる時、
(1) aはどんな範囲にならなくてはならないか、その範囲を求めよ。
(2) CとDで囲まれた部分の面積S(a)を求めよ。
(3) S(a)が最大となるaの値を求めよ。

Q３．曲線C:y=x^3＋px＋q と C上の点P(a,a^3＋pa＋q)
(aは正の定数)における接線l(エル)とで囲まれる部分の面積を求めよ。

Q４．２つの曲線y=x^3－x と y=x^2－a が１点Pを通り、Pにおいて共通の接線を持っている。この２つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。

Q５．関数f(x)=x^3－2ax^2＋a^2x (a>0)について、曲線y=f(x)と直線y=mxで囲まれた２つの部分の面積が等しくなるようなmの値を求めよ。
ただし、0<m<a^2とする。

それでは、どうぞよろしくお願いいたします。
先ほどの投稿の表記の誤り、本当に申し訳ありませんでした。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#6715 回答日時： 2004/02/12 04:33

(1)

(　4　),(　5　)はxの条件

まず図形を把握しましょう
y=x^3+x^2-2x
両辺xで微分して
y'=(　1　)
ここで
y'=0となるようなxは
(　1　)=0より
x=(　2　),(　3　)

y'>0のとき(　4　)
y'<0のとき(　5　)

このことから
xとyの関係をグラフにすると
(　6　)であり、
x軸とこのグラフで囲まれる部分は2箇所あることが分かる

左の面積は
積分範囲は(　7　)<=x<=(　8　)で∫(　9　)dx

右の面積は
積分範囲は(　10　)<=x<=(　11　)で∫(　12　)dx

よって(　9　)+(　12　)=(　13　)であることがわかる。

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2004/02/12 13:09

Q１(２)

先ほどの質問を見た感じでは
(x-1)^2＋(y-2)^2≦5 かつ y≧x^2 で表される領域の面積
ですよね？(y≧2^x→ｙ≧x^2)

(x-1)^2＋(y-2)^2＝５とｙ＝x^2の交点のうち、ｘ座標が正のものをAとします。
線分OAは円の直径になっているので、求める面積を線分OAで２つに分けて別々に面積を計算すれば、面積が求まります。

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2004/02/12 12:57

Ｑ５

Ｃ：ｙ＝f(x)＝ｘ(x-a)^2
Ｌ：ｙ=ｍｘ
CとLの交点のｘ座標をα、β (0<α<β)とします。
CとLを連立してβを求めます。ここから、
∫[0≦x≦β]{f(x)-mx}dx＝０となるようにｍを求めればOKです。(計算は大変だと思います)

ですが、実は、こんな大変な計算をする必要はなくて、
Cが３次関数なのでLがCの変極点すなわち(2a/3,2a^3/27)を通る事が必要十分で、m=a^2/9
求める事ができます。

No.4 回答者： noname#6715 回答日時： 2004/02/12 06:35

Q4

P(a,b)
f(x)=x^3-x
g(x)=x^2-a
と置くと、
f'(x)=(　1　)
g'(x)=(　2　)
であり
f(a)=g(a)
f'(a)=g'(a)
が成り立つから
a=(　3　)

よって
f(x)=x^3-x
g(x)=x^2-(　3　)
であり、f(x)=g(x)のとき
x=(　4　),(　5　) ((　4　)<(　5　))
だから
(　7　)　←面倒くさくなってかなり略しています。

No.3 回答者： noname#6715 回答日時： 2004/02/12 06:15

Q3

まず、y=x^3+px+qより
y'=(　1　)であるから
P点における接線の傾きは
(　2　)

よって
求める直線lの方程式は
{y-(a^3+pa+q)}=(　2　)(x-a)
とあらわすことができる。
lとCをグラフにすると(　3　)
lとCで連立方程式を立ててxの解を求めると
異なる2解のみ求まり(重解のため)、その解は
(　4　),(　5　)が求まる((　4　)<(　5　))

以上から 求める面積は
積分範囲(　4　)<x<(　5　)で∫(　6　)dxである

よって答えは
(　7　)

No.2 回答者： noname#6715 回答日時： 2004/02/12 05:38

計算してないので誤りがある可能性大です

Q1(2)は分からないですy=x^2ならともかく
交点が出ない・・・

Q2
(1)
曲線
C:y=－x^2
D:y＋a=(x－a)^2

相異なる2点で交わるというのは
連立方程式を立てると
異なる二つの実数解が出るということ
CをDに代入してまとめると
(　1　)x^2-(　2　)x+(　3　)
判別式から
D={-(　2　)}^2-4(　1　)(　3　)>0
よってaの範囲は
(　4　)<a<(　5　)

(2)
CとDのを同じグラフ用紙(?)に描くと
(　6　)となる

さてこの交点のx座標をα,β(β>α)とすると
α+β=(　7　)
αβ=(　8　)
β-α=(　9　)


もとめる面積は
積分範囲∫(x-(　10　))(x-(　11　))dx
である。

ここで積分範囲がp<=x<=qとするとき
∫(x-p)(x-q)dx
=∫(x-q+q-p)(x-q)dx
=∫{(x-q)^2+(q-p)(x-q)}dx
[{(x-q)^3}/3+{(q-p)(x-q)^2}/2]
={(q-p)^3}/6・・・A

を利用すると

面積S(a)は(　12　)である

(3)
S(a)=(　12　)をaで微分すると
S'(a)=(　13　)である

Q1の(1)同様にグラフを描くと
(　14　)となる

これより図から
a=(　15　)