No.1
- 回答日時:
線形の微分方程式とは次のような性質を持ちます。
u(x,y,z)についての微分方程式の任意の2解をu(x,y,z)=f(x,y,z),u(x,y,z)=g(x,y,z)とするとその線形結合
u(x,y,z)=a*f(x,y,z)+b*g(x,y,z)
も必ずその微分方程式の解である。
ラプラス方程式は二階の線形偏微分方程式(一階ではありません)
∇u(x,y,z)=0
ですが、その二つの解をu(x,y,z)=f(x,y,z),g(x,y,z)とすると
u(x,y,z)=2f(x,y,z)や3f(x,y,z)-5g(x,y,z)などもすべてラプラス方程式の解になります。
ポアソン方程式は線形偏微分方程式ではありません。
例えば
∇u(x,y,z)=x
の二つの解をu(x,y,z)=f(x,y,z),g(x,y,z)とするとu(x,y,z)=2*f(x,y,z)やf(x,y,z)+g(x,y,z)はこの方程式の解にはなりません。(代入すればすぐにわかるでしょう)
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
理解できました。
解が線形結合で表さるかどうかで説明できるのですね。
与えられた、微分方程式を見ただけでは線形なのか非線形
なのかわからないと言うことでしょうか?
微分方程式をといて、初めてその微分方程式が線形なのか
非線形なのか判別出来るということでしょうか?
∇u(x,y,z)=x
についてですが、
∇^2u(x,y,z)=xの間違いでしょうか?
∇は「ナブラ」で後ろに関数が来て、一階の偏微分を行う微分演算子
ですよね?
2変数の場合、Φ(x,y),f(x,y)として、
ラプラス方程式は、
ΔΦ(x,y)=0
ポアソン方程式は、
ΔΦ(x,y)=f(x,y)
と表されますが、
ラプラス方程式と、ポアソン方程式の違いは右辺だけだと理解しています。
右辺に、関数f(x,y)があるだけで、ポアソン方程式は線形でなくなって
しまうのでしょうか?
申し訳ありませんが、ご回答よろしくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1のものです。
与えられた、微分方程式を見ただけでは線形なのか非線形
なのかわからないと言うことでしょうか?
そんなことはありません。見れば大体線形か非線形かの区別はつきます。
微分作用素で表される式をD(∂/∂x,∂/∂y)としたとき
D(∂/∂x,∂/∂y)Φ(x,y)=0
と変形できればまあ線形でしょう。(Dが線形作用素でなければなりませんが微分演算自体は線形性を持っているので線形になることがおおい)
右辺が"0"になること、左辺が全てΦの前にかかることが重要です。
たとえば物理学で出てくるシュレーディンガー方程式
Hψ(x,y,z)=Eψ(x,y,z)
H={-1/(2m)}Δ+V(x,y,z) E:定数
は
(H-E)ψ(x,y,z)=0
と変形できますのでこの方程式は線形です。
物理学で非線形の例としてよく挙げられるのがソリトンです。ソリトンの例としてよく挙げられるKdV方程式は
∂u/∂t+6u*∂u/∂x+∂^3u/∂x^3=0
となりますが、右辺は"0"ですが左辺はDuの形に変形することができません。そのためこの方程式は非線形だとわかります。
(∂Φ/∂x)^2とか、Φ*∂Φ/∂xのようにΦの含まれる式を掛け合わせたものが出てくると非線形と見てよいでしょう。
∇u(x,y,z)=x
についてですが、
∇^2u(x,y,z)=xの間違いでしょうか?
∇は「ナブラ」で後ろに関数が来て、一階の偏微分を行う微分演算子
ですよね?
間違いの修正ありがとうございます。ご指摘のとおりです。
2変数の場合、Φ(x,y),f(x,y)として、
ラプラス方程式は、
ΔΦ(x,y)=0
ポアソン方程式は、
ΔΦ(x,y)=f(x,y)
と表されますが、
ラプラス方程式と、ポアソン方程式の違いは右辺だけだと理解しています。
右辺に、関数f(x,y)があるだけで、ポアソン方程式は線形でなくなって
しまうのでしょうか?
そうです。
実際に二つの解をΦ(x,y)=u(x,y),v(x,y)としたとして代入してみるとよいでしょう。
ラプラス方程式の場合
Δu(x,y)=0,Δv(x,y)=0ですので
Δ{a*u(x,y)+b*v(x,y)}=a*Δu(x,y)+bΔv(x,y)=a*0+b*0=0
となりますのでa*u(x,y)+b*v(x,y)もラプラス方程式の解になります。
ポアソン方程式の場合
Δu(x,y)=f(x,y),Δv(x,y)=fx,y)ですので
Δ{a*u(x,y)+b*v(x,y)}=a*Δu(x,y)+bΔv(x,y)=a*f(x,y)+b*f(x,y)=(a+b)*f(x,y)
となりますのでこれは与えられたポアソン方程式の解ではありません。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、
ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは
理解できました。ありがとうございます。
微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と
非線形微分方程式を以下に示します。
線形微分方程式
(1)y”+y’-2x=0
(2)y’+xy=1
(3)(x-1)y''-xy'+y=0
非線形微分方程式
(1)(y”)^2+y’-2x=0
(2)x(y”’)^3+y’=3
(3)y・y’+xy=1
なんとなくですが、線形と非線形の理由もわかります。
上の線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか?
非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか?
y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか?
線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
でしょうか?
お手数をお掛けしますが、ご回答よろしくお願い致します。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
数IIの問題
-
高校数学の問題です。
-
tanX=Xの解
-
微分の重解条件は公式として使...
-
数学の質問です。 2つの2次方程...
-
微分方程式の解を、微分方程式...
-
微分方程式で、分母=0の場合は...
-
適正解と最適解
-
二次不等式について
-
3次方程式の定数の範囲の問題で...
-
LP(線形計画問題)に関する問...
-
補集合で解きたい
-
数学について質問です 2変数関...
-
確率の求め方を教えてください
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
4次関数と二重接線に囲まれる面...
-
解なし≠解はない
-
ロンスキアン(ロンスキー行列)...
-
3次関数と直線が接する場合、...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
適正解と最適解
-
微分の重解条件は公式として使...
-
解なし≠解はない
-
微分方程式についてです。 xy'-...
-
tanX=Xの解
-
数学の質問です。 2つの2次方程...
-
微分方程式 定常解について・・・
-
3次関数と直線が接する場合、...
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
aの値に関係なくとよく問題で見...
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
必要条件、、十分条件、必要十...
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
微分方程式で、分母=0の場合は...
-
一枚の板から何枚取れるか?
-
3次関数と1次関数が接するとき
-
何故グラフに接するとき重解に...
-
答えを教えて
おすすめ情報