tanθの実際の計算について

Question

なんども失礼します。
高校の三角関数をなぜか復習しているものです。
tanθ＝０．７５

で角度θは37度と

・三角比の表
・電卓を叩く

で簡単に出ますが、実際なんでこうなるのでしょう？
どうやって計算してるのでしょう？
例えば
１：１：√２の三角形では
tan45度=1であるのを記憶していますが

ほかの三角形もこの数字のときはこの角度って（電卓も含め）記録しているだけなのでしょうか？
なんか質問書いていてそんな気がしてきました。

178-tall · Accepted Answer

アークサインの一例。

「アークサイン = 1/√2 」みたいな特定ケースでなく、ポンとサイン値を与えられたとき、辺長比から角度 (弧度) を知るための主なる道筋は二つ。
一つが「三角関数表」の逆引き手段を使う「アーカイブ」流。
もう一つはなんとか勘定してみる「アルゴリズム」流。
「アーカイブ」ですませるのがふつう。実務では当方も「アーカイブ」派ですけど…。

逆三角関数値の求め方を訊ねる Q&A も散見されます。
回答はたいてい逆引き策ばかりで、「アルゴリズム」を対案として書いてみても、質問者がスンナリ納得するのは「アーカイブ」流のほうばかり。

「アルゴリズム」の古典は、円に内接する正多角形の全辺長から円周率の近似値を導いたアルキメデス以来の方法。

その変形 sinc(x) = sin(x)/x の無限乗積、
　∞
　Π cos(x/2^k) = sin(x)/x　　　…(*)
　k=1
などがスマートなスタイルの一例。
与えられた sin(x) から cos(x) を算出して、半角算式を連用すれば、(*) の右辺が得られる。
それから、与えられた sin(x) に対するアークサイン x を知ることができます。

左辺にて、∞ までは行けませんので、有効桁内で cos(x/2^k) が 1 に達したところで打ち切り。
そのときの左辺の sin(x) へ「弦長」を入れれば、x すなわち「弧度」が得られるわけです。

mnakauye · Answer

面白い視点ですよね。

基本的には、三角比表が教科書の末尾についていたりしますね。電卓やコンピューターは単に覚えているだけなのか内部に関数を持っていてそれを計算しているのか、作成者に聞かないと解りませんね。

で、そもそもどうやって計算しているかですが、現在では高等数学に、三角関数の級数展開というのがあって、それによっていくらでも近似値を出すことができます。

ただ、歴史を見ると、三角比は測量や天文学と関係するので、苦労して図面からだったり、図形を使ったりして求めています。

「奈良教育大学」のサイトにそんな話が載っています。
http://mail2.nara-edu.ac.jp/~asait/kuiper_belt/mathematics/trigonometry.htm

次はそこからの引用です。

「最初の三角法の数表は ニカイア (現在の イズニク) の ヒッパルコス (BC 180 年 - BC 125 年) によってまとめられたと思われ、 これによりヒッパルコスは現代では「三角法の父」を呼ばれている。 ヒッパルコスは、一連の角度に対して円弧 (の角度) と弦の長さの数表を作成した最初の人である。」

例えばですが、ご存知の三角定規である　二等辺直角三角形と正三角形の半分をつかえば、
３０度、４５度、６０度、９０度は、解りますから、

三角形の加法定理を使えば、

その輪や差の角度は、計算である、１５度の倍数の角の値は出せるようになります。

sin15度＝sin(45-30)=sin45xcos30-cos45xsin30
 などなど・・・・

さらに倍角の公式を使えば、計算は大変ですが、その半分も出せます。すると次々にさらに半分も出てされにもう半分もと

間にある角は細かくどんどん詰まっていきます。

三倍角の公式を使うと、３次方程式を解くことになりますが、それぞれ解っている角の３分の一の角も出せます。

また、倍角の公式と３倍角の公式を使うと、１８度や３６度、７２度など正五角形に関係する角度の値も計算で出せます。

・・・・・・というように、苦労して先人が作り上げたのが、もともとの三角表というものでしょう。

歴史を見るといろいろ面白いことにぶつかります。高校までは別の分野だと思っていた代数と幾何がつながっていて

学習する上で系統に分けてあるだけなのだということも解ってきますよ。

ereserve67 · Answer

微分積分などを学んでいくと，一般に関数f(x)が次数が高い多項式で近似されるという理論があります．ワイエルシュトラスの多項式近似定理というものがありますが，最も一般的に論じられるのは関数のべき級数展開

f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+・・・

というものがあります．例えば表記のtan(x)であれば

tan(θ)=θ+θ^3/3+2θ^5/15+17θ^7/315+・・・

となります．もし-π/2<θ<π/2ならばtan(θ)の逆関数というものがあって，つまりy=tan(θ)，-π/2<θ<π/2ならばθ=f(y)となる関数ｆ(y)があってこれもべき級数展開できます．

（☆）f(y)=y-y^3/3+y^5/5-y^7/7・・・

となります．ただし，これが成り立つのは-1≦y≦1です．例えばtan(θ)=0.75となるθはθ=f(0.75)であり，

f(0.75)≒0.75-0.75^3/3+0.75^5/5-0.75^7/7=365721/573440

もちろんこれは近似値ですが，次数を高くすればするほど真の値に近づきます．それとこの結果は孤度法とよばれる角度の単位の数値です．よく使われる度数法にするには180/π（π=3.14157・・・円周率)をかけます．

f(0.75)≒(365721/573440)180/π≒37度

原則としてはコンピューターには☆のような計算式がプログラムされていると思ってよいです．☆は無限の項がありますが，無限を扱えないのでどこかで打ち切ります．誤差を評価してうち切ります．できるだけ誤差のない値が欲しいので，いろいろ工夫がしてあると思います．詳しいことはかけませんが大体そんなところだと思います．

ta20000005 · Answer

参考までに。
関数電卓で三角関数を計算させる時は数個のデータだけ記憶させておいて、あとは足し算引き算で計算して10桁程度を正確に求めています。以下のページに説明があります。

http://teamcoil.sp.u-tokai.ac.jp/calculator/100224/index.html

178-tall · Answer

#4 に、蛇足。

>sinc(x) = sin(x)/x の無限乗積、
>　∞
>　Π cos(x/2^k) = sin(x)/x　　　…(*)
>　k=1
>などがスマートなスタイルの一例。

スタイルはともかく、左辺が「半角 → 半角 → … 」の積なので、収束は速い。

スプレッドシートにて簡単に組めます。
ご興味あらば、お試しを。

178-tall · Answer

>スプレッドシートにて簡単に組めます。

tan(x) = 0.75 → sin(x) = 0.60 として、乗積上限 m が 1 ～ 7 までの実演データです。
有効数字 5 桁の例。

m
　Π cos(x/2^k) = sin(x)/x　　　…(*)
　k=1

m　　　rad　　　deg
　--　　----　　 ----
　1　　0.6325　　36.237
　2　　0.6407　　36.711
　3　　0.6428　　36.830
　4　　0.6433　　36.860
　5　　0.6435　　36.867
　6　　0.6435　　36.869
　7　　0.6435　　36.870

tanθの実際の計算について

面白い視点ですよね。

微分積分などを学んでいくと，一般に関数f(x)が次数が高い多項式で近似されるという理論があります．ワイエルシュトラスの多項式近似定理というものがありますが，最も一般的に論じられるのは関数のべき級数展開

参考までに。

アークサインの一例。

#4 に、蛇足。

>スプレッドシートにて簡単に組めます。

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　面白い視点ですよね。