291の(2)の第2次導関数を求めなきゃ行けないのですが、答えは写真のように1発で出してますが、どう

291の(2)の第2次導関数を求めなきゃ行けないのですが、答えは写真のように1発で出してますが、どうやってやるんですか？
積の微分を使うとめちゃくちゃ長くなるんでが

質問者からの補足コメント

• 答えです
  普通なら途中計算も書いてあるのですが、これだけなかったです

  
    補足日時：2019/04/06 11:23

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/06 14:43

f(t) = a cos t + b sin t,

g(t) = (e^-t)f(t) と置くと、
y = g(2x) です。

y'' = 4g''(2x),
g''(t) = (e^-t)''f(t) + 2(e^-t)'f'(t) + (e^-t)f''(t),
(e^-t)' = -(e^-t),
(e^-t)'' = (e^-t),
f'(t) = a(cos t)' + b(sin t)' = a(-sin t) + b cos t,
f''(t) = a(cos t)'' + b(sin t)'' = a(-cos t) + b(-sin t) = -f(t)
から
y'' = 4・2(-e^-2x)f'(2x) = 8(e^-2x)(a sin 2x - b cos 2x)
とするのは、暗算の範囲内だろうと思います。
(e^-t)''f(t) + (e^-t)f''(t) = 0 であることに気がつけばね。

y' よりも y'' のほうが簡単なんですよ。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/04/06 12:26

e^-2x=f

acos2x+bsin2x=gとすると
y'=(fg)'=f'g+fg'
f'=-2e^-2x
g'=2(-asin2x+bcos2x)なので、
f'g+fg'のe^-2xの係数は２（または-2)となることは暗算でも分かります
また、f'gとfg'の両者ともcos2x,sin2xに係数が付く型となるのも途中式を書くまでもなくわかります。
そして、ｇの微分ではcos2xの係数がbに、sinxの係数が-aにかわるので、f'g+fg'では　sin2xの係数がb-a
cos2xの係数はa+ｂという事も暗算でもできるという事です。（eの係数を＋２とした場合）
これらを頭の中で統合して、1発でy'として導くこともできないことは無いという事です
ただし、暗算で間違うよりは途中式の手間を惜しまず、ミスをしないという方がベターだと思います。

（記述として　1発暗算は少し荒いような感じはします。採点基準によっては、途中式が抜けていると捉えられて減点となるかも（個人意見））

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/04/06 11:45

そんなに長くなるかな？

y'=2e^(-2x){(b-a)cos2x-(a+b)sin2x}

y''=-4e^(-2x){(b-a)cos2x-(a+b)sin2x} + 2e^(-2x){-2(b-a)sin2x-2(a+b)cos2x}
=2e^(-2x){-2(b-a)cos2x+2(a+b)sin2x-2(b-a)sin2x-2(a+b)cos2x}　←2e^(-2x)でくくった　
=2e^(-2x)(-4bcos2x+4asin2x)　←　cos2x、sin2xでまとめた
=8e^(-2x)(-bcos2x+asin2x)

というふうにすぐに答えに行き着くけど。