平方完成の意味

平方完成の意味がよくわかりません。

平方完成の仕方はわかるし、平方完成をすれば２次関数の頂点とかが出ることもわかります。

ただ、例えば、3x^2+6x+2という２次式があったとき、
なぜ、x^2とxだけまとめてしまうのか。
２はどこに行ったの？と思ってしまいます。
計算上は２はどこにも行っていないこともわかりますが、なぜ、一緒に３でくくってあげないのか…
因数分解みたいに。

平方完成と因数分解は全く別物だと言うこともわかっていますが、なんか平方完成の意味が分かりません。

回答よろしくお願いします

No.5 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2012/12/19 19:24

No.2です。

読み返してみると尻切れトンボでした。
「平方完成の意味」は、二次関数のグラフがどういう形をしているか
・y軸方向にいくら(c)移動
・x軸方向にいくら(b)移動
・全体を縦(横)にいくら(a)拡大(縮小)されているか
　の目安を立てるためと考えると良いです。

　すると、
y-c=a(x-b)²
　がそのイメージとなります。

　その形にするためには、無理くり(と言っても楽ですが)、変形しているのが平方完成と考えたらどうでしょう。
※y=a(x-b)² + c ではなくて、目的はy - c = a(x-b)² だと!!!

「なんか平方完成の意味が分かりません。」

★二次関数の形がどのようなものであるかを理解する手法
　どの方向にどれだけ移動して、どちらへいくら伸縮されているか。
　特に頂点を求めるのに役立ちます。
★x軸との交点を求めるのが因数分解
★平方完成では、x軸と交差しない二次関数の形も理解できる。

とは言っても、微分を習えば不要になるかも(^^)

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/12/19 11:34

＞ただ、例えば、3x^2+6x+2という２次式があったとき、

＞ なぜ、x^2とxだけまとめてしまうのか。
＞ ２はどこに行ったの？と思ってしまいます。

平方完成をするときは、２のことは考えないです。
3x^2＋6x＋2
x^2とxの係数だけみて、x^2の係数が1でなかったら、ｘ^2の係数でくくって、
(　)の中だけで平方の式を作ります。
ここでは、そのために3×1をたしたので、元の式と等しくするために、3×1を引きます。
＝3(x^2＋2x＋1)－3×1＋2
＝3(x＋1)^2－1

いつもこんな風に計算しています。試してみてください。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/18 19:46

定数項を最高次の係数で一緒に括らないのは、

括らない定数項の値がグラフの頂点のy座標になる
ことが主な理由じゃないかな。そのほうが便利
なんですよ。いろいろの用途でね。
二次方程式の解法だけを考えるのであれば、
一緒に括ってしまったほうが、早道なんだけれども。

No.2 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2012/12/18 11:19

平方完成はxがある項で決定され、定数項の部分は余分な値の加減で調整できるからです。

式の変形を「x^2とxだけまとめてしまう」と考えるとわからなくなりますが、例であげた式なら
3x^2+6x+2
=3x^2+6x+3-3+2
※ここでなぜ「+3-3」をしているかというと、「3x^2+6x」を含んだ平方式（「α(x-β)^2」の形になる式）にするのに+3が必要で、足した分を引いてあげたのが-3
=3(x+1)^2-3+2
=3(x+1)^2-1
ということで、2をいっしょにまとめる代わりに、平方数に変形するのに都合のよい3をつくってまとめてしまい、作った3をなくすために-3をしていると考えます。

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2012/12/18 11:12

グラフで考えると良いでしょう。

二次式はすべて頂点を持ち、頂点で向きを変える曲線(放物線)です。
その曲線を変形や移動することを考えてみると
[元の式]
　y = x²
[y軸方向にc移動]
　y-a = x²
[x軸方向にb移動]
　y = (x-b)²
[y軸方向にa倍広げる]
　y = cx²

結果的に
　y-c = a(x-b)²

になりますね。・・これが平方完成です。

微分を習えば平方完成を使わずに
(3x² + 6x + 2)' = 6x + 6 = 0 --接線の傾き--
より
x = -1
より頂点は、(-1 -1)とわかりますが(^^)
3x^2+6x+2 - Google 検索 ( https://www.google.co.jp/#hl=ja&safe=off&tbo=d&s … )

よってグラフは、
　y = x²
に対して
[y軸方向に-1移動]
　y + 1 = x²
[x軸方向に-1移動]
　y+1 = (x + 1)²
[y軸方向に3倍広げる]
　y+1 = 3(x + 1)²