2変数関数の極値を求める問題について

微分積分の回答をお願いいたします。

関数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3-3ｘｙ+ｙ^2について次の問いを求めよ
１、ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の偏導関数を計算し、極値の候補を求めよ、
２、ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の第二次偏導関数を計算し、上で求めた候補が極値かどうか求めよ、
また、極値ならば極大か極小か吟味せよ。

回答をお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/20 01:44

関数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3-3ｘｙ+ｙ^2　

１、
ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の

偏導関数
　fx=3x^2-3y, fy=-3x+2y
連立方程式
　fx=fy=0
を解いて極値の候補点(停留点)を求めると
　(x,y)=(0,0),(3/2,9/4)
極値の候補
　f(0,0)=0,
　f(3/2,9/4)=-27/16

２、
fxx=6x, fyy=2, fxy=fyx=-3
detH(x,y)=6x*2-(-3)^2=12x-9
(x,y)=(0,0)の時　detH(0,0)=-9<0より 鞍点　
(x,y)=(3/2,9/4)の時 detH(3/2,9/4)=9>0,fxx(3/2,9/4)=9>0より 極小値f(3/2,9/4)=-27/16を取る。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/20 02:23

A No.1 の 1. は合っているが、

2. を公式主義で扱うことは勧めない。
いつまでも受験生じゃないんだから。

ヘッセ行列 H の固有値を求めて
二次形式 (転置 v)Hv の符号を決定するほうが、
この解法がテーラー展開に根ざしていることが見えるし、
三変数以上の場合に自然に拡張できる。

(x,y)=(0,0) のとき H =
　0　-3
　-3　2
だから、H の固有値は 1±√10。これが正と負だから、
f のテイラー展開の二次項は不定値の二次形式で、
(x,y)=(0,0) は鞍状点である。

(x,y)=(3/2,9/4) のとき H =
　9　-3
　-3　2
だから、H の固有値は (11±√85)/2。これが正と正だから、
f のテイラー展開の二次項は正定値の二次形式で、
(x,y)=(3/2,9/4) は極小点である。