e^2x-e^-2x/x 極限

e^2x-e^-2x/x 極限が4というのがわかりません。
上の式を(e^2x-e^-2x)^2-2/xとしたのですが
この先どうしたらよいのでしょうか？

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/02/03 16:54

ロピタルの定理により

lim(x→0)[[e^(2x)-e^(-2x)]/x]= lim(x→0)[d[e^(2x)-e^(-2x)]/dx/dx/dx]

=lim(x→0)[2e^(2x)+2e^(-2x)]=4

0の周りにe^(2x),e^(-2x)をテーラー展開しても同じ結果が得られます。

No.2 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/02/03 18:54

x→0のときの極限ですよね．質問者様の式変形では詰まってしまいます．

微分係数の定義に持ち込みます．

4[(e^{2x}-e^{-2x})/(4x)]

と変形すると，[内]の部分は

f(x)=e^x

とおくと，

{f(0+2x)-f(0-2x)}/{0+2x-(0-2x)}

であり，これはx→0のときf'(0)=1を与えます．したがって求める極限値は

4lim_{x→0}(e^{2x}-e^{-2x})/(4x)

=4f'(0)=4

となります．

この回答へのお礼

納得しました！
お二人ともありがとうございました

お礼日時：2013/02/03 19:57