No.5
- 回答日時:
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
変数係数2階線形斉次式の解の公式は存在しています。
超指数関数という特殊関数が定義されており、
この関数を使って、一次独立な一対の基本解が
記述されています。
No.3
- 回答日時:
一階の線形微分方程式、
y'+P(x)y=0 (1)
の場合は、積の微分公式の変形、
y'+(g'/g)y=(yg)'/g (2)
を利用する事によって、積分因子g(x)を、
g'/g=P(x) (3)
から計算できますが、それは(3)が幸運にも変数分離形になるからです。
2階線形微分方程式、
y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (4)
の場合、同じ発想で、
(((yg)'/g)h)'/h (5)
を計算する事により、P(x),Q(x)を既知関数として持つ、積分因子g(x),h(x)の連立微分方程式を導く事は可能ですが、(4)よりも難しい微分方程式になるので、たぶん非定数係数の2階線形微分方程式の形式解(求積公式)はないと思います。
定数係数の場合だけ、g,hに関する条件として、
g+h=-P(定数)
g・h=Q(定数) (6)
が得られます。(6)は解と係数の関係なので、これが定数係数のとき特性方程式を、
λ^2+Pλ+Q=0 (7)
とおく、根拠になります。
No.2
- 回答日時:
>変数係数の微分方程式の解き方
2階線形常微分方程式,y''+P(x)y'+Q(x)y=0 は,P(x)とQ(x)の関数が具体的に決まらないと解く手だてがありません.y''+P(x)y'+Q(x)y=0 を一般的に解く事は出来ません.1階線形常微分方程式とは,わけが違いますので・・・.
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