漸化式を教えて下さい。

Question

数列を勉強しているのですが、漸化式がよくわかりません。
どこがわからないのかはっきりしませんが、説明が書いてある頭の部分からわかりません。

階差数列とかでてくるのですが、？です。

詳しい方教えて下さい。
よろしくお願いします。

ddtddtddt · Accepted Answer

え～と、まず用語の定義から。数学にはこういう面倒臭さがありますが、でもほんのちょっとですから・・・(^^；)。

a(n)は数列自体ではなく、数列のn項目と呼ばれます。数列とは例えば、

{a(n)}＝{1，2，3，4，5，6，・・・}　　　(1)

みたいな奴です。上記は「こういう風に表しますよ」というだけの話です。今の教科書の表記は知りませんが、たぶん同じだと思ってます。{　}は、数値が一つじゃなくて、数値の集まりだよという意味で、右辺を見れば「列になってる」ので、数列です(^^)。

(1)のa(n)は、番号nに関する関数だと思ったってかまいません。関数a(n)を(1)のように表した、というだけです。(n)の部分は、教科書では、下付き添字のnになってるとは思いますが。

なんでこんな事をするかと言うと、数列{a(n)}の1項目はa(1)＝1，2項目はa(2)＝2，3項目はa(3)＝3，・・・、な～んてやってたら、効率悪いじゃないですか(^^)。

じゃあすっきりと、

a(n)＝n　　　(2)

で良いんじゃないの？。・・・その通りなんですが(^^；)、それを導くのが「数列の問題」なんですよ。問題だから、しょうがない(^^；)。

(1)は明らかにa(n)＝nに見えますが、右辺の6の後の「，・・・」の中において、6より3つ先の9項目で、a(9)＝100だったというような（衝撃の？）事実が隠れてるかも知れない(^^)。それで漸化式を使うんです。

(1)がa(n)＝nと思えるのは、2項目は1項目より1多く（2－1＝1），3項目は2項目より1多く（3－2＝1），4項目は3項目より1多く（4－3＝1），・・・、とわかるからですよね？。だったら、そう書けばいいじゃないのとなります。a(n＋1)はa(n)より1多い、と。

a(n＋1)－a(n)＝1　　　(3)

と・・・(^^)。

(3)のように表せば、a(9)＝100なんかが「，・・・」の中に隠れてるはずはない、と。でも「本当か？」となります。それは証明する必要があります（数学ですからね(^^；)）。それで「(3)から(2)を導いて下さい」が、普通のタイプの数列の問題になります。まさに#2さんの例題です(^^)。

階差数列については、もっと複雑な規則性を持った(1)から(3)を推測するテクニックとして、最初は出て来ると思います。その辺りは、教科書を良く呼んで下さいね(^^)。

spring135 · Answer

#1です。

＞数列を勉強しているのですが

もっとも簡単な数列は等差数列です。等差数列は一般に

a(n)=a(1)+(n-1)d　　　(1)

という形にかけてa(1)を初項、dを公差、a(n)を一般項といい、n番目の項を示します。

(1)が

a(n)-a(n-1)=d         (2)

と書けることがわかりますか。わかるまで実際の数字を使って確かめてください。

(2)を漸化式、または数列の漸化式表現といいます。

もっと一般に

a(n)-5a(n-1)+6a(n-2)=n^2

などという式も考えられます。すべて漸化式です。

ここで問題

(2)から(1)を導いてください。

spring135 · Answer

解きたい問題を示してください。

一般論は教科書を見てください。

え～と、まず用語の定義から。