No.3ベストアンサー
- 回答日時:
A#2の補足について
A#2を良く読めば分かると思いますが?
分からないから補足で質問されてると思うので
より詳しく解説させていただきます。
>>f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由
と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)…(※)を何に使ったのか良ければ教えてください
n=kの時 x>0でf[k](x) > 0…(A) が成立すると仮定したはずですね。
f[k+1]'(x) = f[k](x) …(B)
この(B)はf [k+1](x)をxで微分した式が「= f[k](x)」
となることを示した式ですね。
(B)式が成立するところまでは分かりますね。
仮定(A)により(B)の右辺のf[k](x)は正ゆえ(B)の左辺も
f[k+1]'(x) > 0 (x > 0 ) …(C)
となりますね。
(C)は x > 0 でf[k+1](x)が増加関数であることを表します。
ここで(※)の式は f[k+1](x) が増加関数であることを示す為に使っていますね。
x=0における増加関数f[k+1](x)の値
f[k+1](0)=e^0 - 1 = 0 …(D)
なので x > 0 では増加関数f[k+1](x)に対して
f[k+1](x) > f[k+1](0) = 0 (x>0)
成立します。
(注)増加関数f(x)とは任意のxa,xbに対して
xa<xbのとき f(xa)<f(xb)
を満たす関数です。
性質として xa<xc<xbを満たすx=xcで
f(xc)=0 なら
「x<xcに対してf(x)<0」かつ [xc<xに対してf(x)>0」
が成立します。
お分かりになりましたか?
No.4
- 回答日時:
←A No.2 補足
平均値定理により、
f[k+1](x) - f[k+1](0) = f[k+1]'(c) (x-0)
となる c が、0 < c < x の範囲に在ります。
f[k+1]'(x) = f[k](x) と
f[k+1](0) = 0 を上式に会わせると、
f[k+1](x) = f[k](c) x, 0 < c < x です。
この式から、
f[k](x) > 0 ならば f[k+1](x) > 0 が出ます。
No.2
- 回答日時:
x > 0 の範囲で成立 …ですよね?
0 になるのは、x = 0 のときです。
f[n](0) を計算してご覧なさい。
以前の質問に回答したとおり、
f[n](x) = e^x - (1 + x^1/1! + … + x^n/n!) と置けば、
f[k+1]'(x) = f[k](x) です。
n = k のとき成立すると仮定すると、x > 0 では f[k](x) > 0 なので、
f[k+1](x) > f[k+1](0) です。
ここで f[k+1](0) = 0 であることが効いて、f[k+1](x) > 0。
n = k+1 でも成立することが示せました。
この回答への補足
またx正を書き忘れました、すみません
f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)を何に使ったのか良ければ教えてください
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