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関数f(x,y)=1(0≦x≦1かつ0≦y≦1のとき), 0(それ以外) と定義するとき
I=∫(0≦x≦1)∫(0≦y≦1){∫(0≦θ≦2π)f(x+cosθ,y+sinθ)dθ}dxdy
の値を求めよ。

A 回答 (4件)

見やすいように、u=x+cosθ, v=y+sinθとして、


(x,y,θ)から(u,v,θ)に変数変換します。

あとは、θの積分を一番外側に出し、その区間を
[0,π/2], [π/2,π], [π,3π/2], [3π/2,2π]の4つに分け、
それぞれ0≦u≦1, 0≦v≦1となる条件とu,vのそれぞれの
積分区間とを組みあわせ、fを"外し"ます。

例えば、「0≦θ≦π/2, sinθ≦v≦1, cosθ≦u≦1の上
で定数1を積分」といった感じ。

三重積分が4つでてきますがcosとsinの周期性から1つ
の積分にまとまり、意外とスッキリ計算できます(I>0です)。

この方針にしたがって手を動かしてみてください。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。とても助かります。

お礼日時:2013/07/12 13:42

No.1の者ですが、私のは対角腺だけの積分になるので間違えていますよ。



No.2の方の方法で計算してみてください。

多分ですが(また間違ってるかもしれません^^;が)、答えは、

I = 2(π - 3)

になると思います。
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要するに、0≦x+cosθ≦1, 0≦y+sinθ≦1 となる(x,y,θ) の体積


を求めろってことだから、三重積分とはいっても、x,y については
積分するまでもなくて、長方形の面積を θ で積分するだけのことだ。
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間違えているかもしれませんが、



f(θ) = cosθ + θ

と置くと、f'(θ) = -sinθ + 1

従って、0≦f'(θ) となりf(θ)は増加関数

f(0) = 1 なので、1≦f(θ)

従って,与式 = 0

なのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

ありがとございます。それで試してみます。

お礼日時:2013/07/12 10:26

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