統計学の仮説検定は、両側検定しかありえないのでは?

Question

統計学の仮説検定では、両側検定しかありえないのではないかと考えますが、ご意見をお聞かせ下さい。

コイン投げにおいて、表が出る確率をP(H)、裏が出る確率をP(T)とします。
帰無仮説が「P(H)=0.5」である場合、対立仮説を「表が出やすい。P(H)>0.5」とすると片側検定、「コインに偏りがある。P(H)>0.5またはP(T)>0.5」とすると両側検定と説明されます。帰無仮説は同じだでれども、対立仮説が何であるかによって片側検定か両側検定かが決まる、という説明が少なくとも2つの教科書に書かれています。

しかし私は、帰無仮説と対立仮説は互いに排反で、かつ2者で標本空間をカバーし尽くせる（起こりうる全ての事象をカバーできる）ものでなければいけない、と思います。

帰無仮説「P(H)=0.5」に対する対立仮説は「コインに偏りがある。P(H)>0.5またはP(T)>0.5」であるべきだと考えます。そして、「P(H)=0.5」とP(H)の値が特定の1つの値であれば、コインを投げる回数が決まれば（例えば10回）、表が出る回数（0～10回）の確率分布を得ることが可能なので、検定できるわけです。

対立仮説を「表が出やすい。P(H)>0.5」とするのであれば、帰無仮説は「P(H)<=0.5」であるべきだと思います。そうでないと標本空間をもれなく考慮したことになりません。ところが、P(H)=0.5はさておき、P(H)<0.5のもとでは、P(H)の値が無数にあります。ということは、例えば10回中表が0回の確率は無数にあります。10回中表が1回の確率も同様です。したがって、表が出る回数（0～10回）の確率分布を得ることができないので、検定できません。

以上の理由で、統計学の仮説検定では、両側検定しかありえないのではないかと考えますが、ご意見をお聞かせ下さい。

stomachman · Accepted Answer

実に仰る通りで、そもそも「対立仮説」なんて変な用語はイラン（帰無仮説の否定、という意味が曖昧になるだけだ）と思っています。

> したがって、表が出る回数（0～10回）の確率分布を得ることができないので、検定できません。

ま、ま、そう結論を急がずに。

「P(H)≦0.5」 という帰無仮説から導かれる予言として、「P(H)=R≦0.5であるコインをN回トスして表が出る度数MがM≧c である確率」Q(R,N,c)を考える。すると、「帰無仮説を満たすコインのうちで、最も表が出易いもの（すなわちP(H)=0.5のコイン）」において「N回トスして表が出る度数MがM≧cである確率」Qmax(N,c)=Q(0.5,N,c)は、任意のR, N, cについて
　　R≦0.5 ⇒ Q(R,N,c)≦Qmax(N,c)
を満たすに違いない。つまり、「帰無仮説が正しいなら、そのコインをN回トスして表が出る度数MがM≧c である確率はQmax(N,c)以下だ」と言える訳です。
　さて、「コインをN回トスして表が出る度数Mを測る実験をしたところ、危険率pに比べて p ＞ Qmax(N,M)であった」としましょう。するとこれは「任意のRについて、R≦0.5ならば、 p ＞ Qmax(N,M) ≧ Q(R, N,c)」ということだから、結局「p以下の危険率で帰無仮説「P(H)≦0.5」が棄却できる。

というシカケを使えば検定できます。

要するに、「帰無仮説にとって最も都合がいい条件で検定したんだけど、それでも帰無仮説が棄却された」という格好に持ってけば良いんです。

alice_44 · Answer

帰無仮説 P>0.5 を棄却したら、結論は P≦0.5 であって P=0.5 じゃあない…というあなたの考えは、正解です。観測結果が P≧0.5 を強く示唆するものだった場合、統計的検定によって P>0.5 を棄却し、　←[*1] 主観的判断によって P<0.5 を棄却した　←[*2] 結果を総合して、P≒0.5 と結論します。 P<0.5 が論理的または科学的にありえないから棄却してよいのではありません。そんなことはアリエナイ(JK風に) と思うから、個人の責任において棄却すると決めるのです。主観的を入れたらマズイだろうって？とんでもない。そもそも有意水準 5 % で棄却するという話は、確率 5 %未満の事象は偶然では起こるまい …という主観的判断に基いています。統計的検定というのは、主観を排除するための手段ではなく、筋の通った主観的判断をするための補助手段なのです。だから、[*2] の判断に [*1] と同程度の信憑性があれば、片側検定を使うことにも意味があります。

quaestio · Answer

貴方の質問には二つのことが含まれています。一つは仮説をどう立てるかの話で、もう一つは立てた仮説にたいしてどう検定するかという話です。まず一つ目について。 > 対立仮説を「表が出やすい。P(H)>0.5」とするのであれば、帰無仮説は「P(H)<=0.5」であるべきだと思います。「P(H)<0.5」があり得ないということが分かっていれば、帰無仮説は「P(H)=0.5」対立仮説は「P(H)>0.5」で検定することは別におかしいことではないと思いますが、貴方はそれでも帰無仮説は「P(H)<=0.5」対立仮説は「P(H)>0.5」で検定すべきということですか？それとも、「P(H)<0.5」があり得ないとしているのがおかしいいうことでしょうか？前者の意味であるなら、不要な仮説を入れる意味がないですし、後者なら根拠によりけりと考えます。二つ目については、数理統計学の検定論を学ぶことをお勧めします。 > したがって、表が出る回数（0～10回）の確率分布を得ることができないので、検定できません。複合仮説の話ですね。帰無仮説での全てのP(H)で棄却域に落ちる確率が有意水準以下になるように、対立仮説での全てのP(H)で棄却域に落ちる確率を最大にするような棄却域を設定して検定します。上の仮説の場合でそういう風に棄却域を決めると、片側検定となります。

Tacosan · Answer

事前知識によって片側検定になることがあります.

統計学の仮説検定は、両側検定しかありえないのでは?

実に仰る通りで、そもそも「対立仮説」なんて変な用語はイラン（帰無仮説の否定、という意味が曖昧になるだけだ）と思っています。

帰無仮説 P>0.5 を棄却したら、

貴方の質問には二つのことが含まれています。

事前知識によって片側検定になることがあります.

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　実に仰る通りで、そもそも「対立仮説」なんて変な用語はイラン（帰無仮説の否定、という意味が曖昧になるだけだ）と思っています。