複素数、四元数、八元数

複素数やハミルトンの四元数のほか、ケーリーの八元数というのがあると聞いたことがあリます。
「三元数」や「五元数」、「六元数」はあるのでしょうか？
無いとしたらなぜ無いのでしょう？

No.4 ベストアンサー 回答者： ta20000005 回答日時： 2013/08/31 02:58

超複素数の定義を満たす三元数とかはあります。

しかし、よくn元数は実数、複素数、ハミルトンの四元数、ケーリーの八元数しかないと言われます。それは、次の定理があるからです。

実数を拡大した代数で
(フロベニウスの定理)
交代的で除法が定義できるのは実数、複素数、ハミルトンの四元数、ケーリーの八元数に限る

(フルビッツの定理)
単位元を持ちノルムの積が積のノルムに等しい
|z||w|=|zw|
のは実数、複素数、ハミルトンの四元数、ケーリーの八元数に限る

ようは割り算もできるようにしたいならば三元数や五元数では無理で、この４つ以外はないということになります。十六元数は、0以外は逆数を持ちますが、やはり割り算はできません。その意味では十六元数は無いことになります。
証明はその手の専門書で数頁は必要です。

この回答へのお礼

フロベニウスの定理とフルビッツの定理ですか。簡単ではないとわかりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/31 23:50

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/31 22:13

「□元数」とは何かを定義もせずに何やってんだか。

□次拡大体のことでいいなら、Q(2の3乗根) で十分。

この回答への補足

Q(2の4乗根)は可換ですし、 Q(2の8乗根) は積に関する結合法則を満たしてしまうので□次拡大体では駄目だと思います。

補足日時：2013/08/31 22:53

この回答へのお礼

＞「□元数」とは何かを定義もせずに何やってんだか。

それを承知での質問です。

Q(2の4乗根) は四元数体と同じなのですか？

お礼日時：2013/08/31 22:20

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/08/31 03:21

「虚数単位が必ず必要」っていうのは, 端的にいうと「割り算をしたい」から. 以下ベクトルは知ってる前提で:

「多元環」というのは「加減乗算のできるベクトルの集合」と思っていい. 例えば複素数 a+ib は (a, b) という実 2次元ベクトルと思うことができるように. で, 今度は逆に「実数 a, b を使って (a, b) と書けるもの」に加減算を導入して「2元環」を作ることを考える. ここで「実数 a が (a, 0) という形で自然に埋め込める」「乗算は加減算に対して分配的」などいくつかの条件をつけてしまうと, 実質的に
(0, 1) * (0, 1)
という乗算の結果をどう定義するかで環が決まってしまう. 実は, てきとうな処理をするとこの結果は
1 か 0 か -1
(全て実数) のいずれかとすることができる. ところが, さらに「(0 以外での) 除算が自由にできる」という条件を課してしまうと, 上の乗算の結果は -1 でないと都合が悪いこと (1 とか 0 にすると零因子が表れるため除算が自由にできない). そしてこの (0, 1) に「i」というシンボルを与えて
(a, b) という形の「もの」を a+ib と書く
ことにすると, これで複素数ができてしまう.

四元数も構築自体は同じことで
(a, b, c, d) という 4次元ベクトルに対してきとうな「乗算」を定義し, 「(0 以外での) 除算が自由にできる」ようにする
と勝手に四元数ができてしまう. 余談だが四元数 a+ib+jc+kd に対し a を「スカラー」, ib+jc+kd の部分を「ベクトル」と呼んだりもする.

#2 のリンク先で「本質的に新しい虚数単位」云々ってあるけど, あれは「結果的にそういう構築ができる」くらいに思った方がいいと思うよ. 実際そうやって作ることで
実数→複素数→四元数→八元数→十六元数
って組織的に作れるけど, これでは「他のものがない」理由にはならないよね.

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number

この回答へのお礼

多元環の関わりが、参考URLの解説と合わせてよくわかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2013/08/31 23:53

No.3 回答者： mnakauye 回答日時： 2013/08/31 00:24

　こんにちは。

　これは空間を考えることと関係があります。

　０次元・・・点のみ
　1次元・・・直線　　　空間が2つに分かれる
　2次元・・・平面　　　空間が4つに分かれる
　3次元・・・立体ー3次元空間　　空間が8つに分かれる

　　このように空間を考えているので、別れ方は必ず

　２のべき乗になるので

　複素数、ハミルトンの四元数、ケーリーの八元数というように

　2のべき乗がテーマになるのです。

この回答へのお礼

何か哲学的ですね。
「分かれる」といわれているのと数を構成できるのとの関連性がよくわかりません。

お礼日時：2013/08/31 01:17

No.2 回答者： bgm38489 回答日時： 2013/08/31 00:23

２＾ｎ元数だね。

だから、２，４，８，１６…となる。詳しくは、以下サイト参照。
http://8313.teacup.com/camabettlit/bbs/144

この回答へのお礼

リンクのページありがとうございました。
∑nCkから2のベキがでてくるんですね。
虚数単位が必ず必要というのはどういう理屈からくるのでしょう？

お礼日時：2013/08/31 01:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/08/30 23:42

「多元環」はあるんだけどね.

この回答へのお礼

自明な環のほか、多項式の剰余環とかですかね。
ここでいう「数」は体とは限らないので何を「数」と呼ぶのかというのもあるのですが。

お礼日時：2013/08/31 01:23