場合の数と確率について　区別する、区別しない

Question

確率で、見た目で区別のつかないものを区別して考えるのは
例えば赤いボール3つは
「現実には区別があるものだから」　　だと聞きました。

では、なぜ場合の数では、区別のつかないものは同じものとみなすのでしょうか?
場合の数で扱う赤いボール3つも
「現実には区別がつくもの」ではないでしょうか?

よろしくお願いします。

alice_44 · Accepted Answer

場合の数を扱うときも、考え方としては、「区別して考える」のです。
赤いボール3つは、「現実には区別がつくもの」だからです。

ただ、赤いボールを区別せずに数えよ と問題で指定されている場合には、
区別して数えた場合の数を、区別しないものごとにまとめて整理した
値を答えるだけのことです。問題が、そう要求しているからです。

例えば、赤いボール３つと白いボール５つを一列に並べる場合の数は、
現実には区別がつくボール８個を一列に並べるので、８！通りですが、

問題に、同じ色のボールは見た目で区別がつかない と指定されていれば、
８！通りの中で、赤いボールを入れ替えて生じる３！通りづつのバリエーション、
白いボールを入れ替えて生じる５！通りづつのバリエーションを同一視して、
８！／(３！・５！) が答えになります。

ナニも、赤どうし白どうしを区別せずに考えている訳ではなく、
区別して考えた上で、区別しないと何通りになるかを答えているだけなのです。

tknakamuri · Answer

>なぜ場合の数では、区別のつかないものは同じものとみなすのでしょうか?

質問の意味ははっきりしませんが

例えば

3個の赤い玉から2個の玉を取り出すとき、赤い玉を区別しないなら取り出し方は1通り。

とするのはおかしいという質問なんでしょうか？

>なぜ場合の数では、区別のつかないものは同じものとみなす

ということではなく、

区別のつかないものは同じものとみなすなら何通りか？

というはなしなので、何も問題はないと思います。

adachirusan · Answer

順列と組合せをごっちゃにしている気がします。
確率の全事象は、組合せではなく順列です。(それは、質問者さんが考えてる通り、区別をつけないといけないからです。)

その中で特定の事象を考える時も、やはり同じ様に区別をつけて考える必要があります。

区別をつけない組合せを選ぶ問題は、確率とは別と思った方が良いと思います。

sirayaki · Answer

場合の数で区別が云々は判りませんが、確率ではそうすると実験結果とよく合うからです。以前にも似たような質問で回答しましたが、区別をつけない確率というのもあるのです。物理学者のプランク先生も、量子力学の黎明期に悩んだのでした。区別をつけて確率を考えるという仮定の問題だと思います。

nananotanu · Answer

何故区別のつかないものは同じものとみなすか、ではなくて、同じものとみなしたらそうでない時とどう違うか、という「思考の楽しみ」なんです。

現実世界がどうか、じゃなくて、仮定の世界のお話。「場合の数で扱う赤いボール3つ」とは、数学の世界の言語で「（現実には区別がつくものではあるが）区別がつかないとしたら？」という『言葉(数学語)』なのです。

場合の数を扱うときも、考え方としては、「区別して考える」のです。