初期値問題と境界値問題の違いについて知りたいのですが、教えていただけないでしょうか。つまり、初期条件と境界条件の違いです・・・。
アバウトにではなく数学的にきっちりと教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

初期値問題と境界値問題はどちらも微分方程式に関する分類です。



例として常微分方程式をとります。
関数Yi、i=1, 2, 3, ・・・・,nに対して
 dYi
-----=f'i(X,Y1,Y2,・・・・・,Yn)  i=1,2,・・・・,n
dX
の一般形をしたn元連立微分方程式がある。
このとき、関数Yiを完全に求める(ただ1つに定める)には、n個の数値条件が
必要となります。
その数値条件を、すべてのYiについて出発点Xsでの値を与える。
これが初期値問題です。
そして、2転移上のXでYiの値を定める。
一般的には、条件のいくつかを出発点Xsで、残りを終点Xfで与える。
これが境界値問題です。

つまり、出発点からその後の様子を調べるのが初期値問題で、一般的には出発点と
到着点からその間の様子を調べるのが境界値問題です。

わかりましたでしょうか?
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アバウトじゃなく言うと、抽象的になっちゃいますが、


●初期値問題は、境界値問題の特別な場合に過ぎません。
 一般に空間Xで定義される関数族に関する微分方程式(いや積分方程式でも良いんですが)が与えられ、さらにXの部分集合C上で値(関数やその導関数の値など:これが境界値です)が与えられている時に、微分方程式を満たしかつC上で境界値に一致するような関数(これが解です)を求めるのが境界値問題。
 境界値問題のうちで、特に空間Xが「時刻」と見なしうる座標軸を持っていて、時刻が0であるような部分集合をCとし、さらに時刻が負である部分については解を要求しない場合、これが初期値問題です。

 例を挙げるとすると、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式(連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、)が与えられていて、またこの空間中に曲面なり曲線なり(閉じていても開いていてもいいけど)が与えられ、その曲面上で、解がたとえば決められた値を取る。そのような解を求めよ、というのが境界値問題。さらに具体的な例を挙げるなら、かくかくの微分方程式を満たし、かつ単位球殻上で値が0になるものを求む、というような問題ですね。もっと具体的な例を挙げれば、マックスウェル方程式において、球面上で至る所電位が1であるような解を求む、みたいな。
 初期値問題の方は、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式(連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、)が与えられていて、またこの空間中に「時刻」と呼ばれる軸がひとつあって、時刻=0という超平面上で境界値が与えられ、なおかつ時刻<0である部分に付いては解を求めなくて結構である、という問題です。つまりt=0において初期条件を与えたとき、その微分方程式(なり積分方程式なり)で時間発展を見るとどうなるか、それを問うわけですね。だから特に「初期値」と呼ぶだけのことです。
 こんなもんでよろしいかしら。
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Q胃がしくしく痛い 十二指腸潰瘍?胃がん?

長くなりますが、よろしくお願いいたします。

主人42才なのですが、
2015年2月、胃がキリキリ、しくしく痛いと言い出し、個人病院に連れて行ったところ、診断は胃カメラにて十二指腸潰瘍&細胞を検査に出しピロリ菌無しでした。薬を飲んで様子を見ることになり、症状も落ち着きました。

そして、2015年7月に会社の健康診断でバリウムも異常なしでした。

そして、2015年11月、最近になってまた、胃の辺りがシクシク痛いと言い出し、妻としては、再発?ガン?色々な事が頭をよぎります。(主人の父2013年4月に胃がん、母が2014年11月に胃がんになったこともあり…。)※両親がピロリ菌を持ってるのに子供はピロリ菌を持っていないというのは、あるのでしょうか?

心配なので主人に病院に行くように進めているのですが、『7月にバリウムを飲んで異常なかったし、十二指腸潰瘍の時見たいな痛さは無いし、と言うばかりで!病院に行ってくれません。
仕事柄営業で部下と上司の間での立て挟みで神経を使い、ストレスを使っていると思われます。

十二指腸潰瘍が再発したのでしょうか?
また、胃がんなのでしょうか?
病院で、胃痛か何かの薬だけでなく、胃カメラ飲むべきでしょうか?
まだ子供も小さいので、もう心配で心配でなりません…(泣)

長くなりますが、よろしくお願いいたします。

主人42才なのですが、
2015年2月、胃がキリキリ、しくしく痛いと言い出し、個人病院に連れて行ったところ、診断は胃カメラにて十二指腸潰瘍&細胞を検査に出しピロリ菌無しでした。薬を飲んで様子を見ることになり、症状も落ち着きました。

そして、2015年7月に会社の健康診断でバリウムも異常なしでした。

そして、2015年11月、最近になってまた、胃の辺りがシクシク痛いと言い出し、妻としては、再発?ガン?色々な事が頭をよぎります。(主人の父2013年4月...続きを読む

Aベストアンサー

42歳では胃がんは少ないのでは。
胃がんは中高年が多いので。

バリウムでは見逃しが多いです。

ぜひとも病院で胃カメラしましょう。
でもピロリ菌がないなら胃がんの可能性は少ないのでは。

35歳過ぎたら毎年人間ドックが必須ですよ。
子どもと奥さんのためにも。

私(60代)は毎年ドック、献血が2回/年。
献血でも内臓機能(血糖値、肝機能、他)がわかります。
ちょっとでも体調がおかしいとすぐに病院に行きます。
でも、ほとんどの場合異常なしですが。
血液検査で体の状態がわかります。

Q微分方程式の初期値問題を解く問題なのですが… f'(x)+4f(x)+

微分方程式の初期値問題を解く問題なのですが… f'(x)+4f(x)+x^4=∫(範囲は0~x)f(t)dt,f(0)=0 これが解けなくて悩んでいます。 どなたか解き方を教えてください! よろしくお願いします!

Aベストアンサー

f'(x)+4f (x)+x^4=∫(0~x)f(t)dt…(1)
初期条件
f (0)=0 …(2)
(1)でx=0とおくと
f'(0)=0 …(3)

(1)を微分
f"(x)+4f '(x)+4x^3=f(x)
移項して整理すると
f"(x)+4f '(x)-f(x)=-4x^3 …(4)

(4)の斉次方程式の一般解f1(x)
f"(x)+4f '(x)-f(x)=0
s^2+4s-1=0
s=-2±√5
f1(x)=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t …(5)

(4)の特殊解f2(x)
f2(x)=ax^3+bx^2+cx+d …(6)
とおき(4)に代入
6ax+2b+4(3ax^2+2bx+c)-ax^3-bx^2-cx-d=-4x^3

(4-a)x^3+(12a-b)x^2+(6a+8b-c)x+2b+4c-d=0

xの恒等式なので各次の係数は全て0とおける。
a=4,b=48,c=408,d=1728
(6)に代入
f2(x)=4(x^3+12x^2+102x+432) …(7)

(4)の一般解は
f(x)=f1(x)+f2(x)
=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t+4(x^3+12x^2+102x+432) …(8)

初期条件(2),(3)から
f(0)=c1+c2+1728=0
f'(0)=(-2+√5)c1+(-2-√5)c2+408=0
これらをc1,c2について解けば
c1=-(1932(√5)+4320)/5,c2=(1932(√5)-4320)/5 …(9)

(9)を(8)にに代入すれば(1)の微分方程式の答えが求まる。

f'(x)+4f (x)+x^4=∫(0~x)f(t)dt…(1)
初期条件
f (0)=0 …(2)
(1)でx=0とおくと
f'(0)=0 …(3)

(1)を微分
f"(x)+4f '(x)+4x^3=f(x)
移項して整理すると
f"(x)+4f '(x)-f(x)=-4x^3 …(4)

(4)の斉次方程式の一般解f1(x)
f"(x)+4f '(x)-f(x)=0
s^2+4s-1=0
s=-2±√5
f1(x)=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t …(5)

(4)の特殊解f2(x)
f2(x)=ax^3+bx^2+cx+d …(6)
とおき(4)に代入
6ax+2b+4(3ax^2+2bx+c)-ax^3-bx^2-cx-d=-4x^3

(4-a)x^3+(12a-b)x^2+(6a+8b-c)x+2b+4c-d=0

xの恒等式なので各次の係数は全て0とおける。
a=4...続きを読む

Q胃がんと十二指腸潰瘍

叔母と暮らす祖母が胃の不調を感じ検査入院したところ、
結果は十二指腸潰瘍との連絡がありました。

胃カメラで検査した結果、出血があるとのことで飲食を禁止されたのですが、
半月以上たった今も出血が止まらないようで、まだ食事を摂る事が出来ません。

私は実は胃がんではないのか…と不安なのですが、胃がんだった場合でも
数日おきに胃カメラの検査をしたり、食事を禁止されたりしますか?

漠然とした内容しか伝えられなくてごめんなさい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

半月の間入院されているのですか。食事ができないようならば入院でしょうね。仮にガンであった場合は、近親者に告知をされますし、手術もしくは何らかの治療が始まります。また治療不可能であっても同様です。お歳を召した方であればあるほど、出血に手間取る可能性も高くなります。文面だけをとらえますと、潰瘍だと思いますよ。ただ難治性かもしれません。
胃カメラは症状が安定しない場合は短期間に複数回撮影もありえます。特に出血部位を的確に判断するには最適な方法ですからね。また細胞診断と腫瘍マーカーも行われているはずですので、医師に身内のあなたから聴いてみるのが最良かと思います。

Qラプラス方程式の境界値問題

∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2 = 0  in Ω

∇u・n = 0  on Ωの境界 ( nは境界の外向き法線ベクトルです)


Ωを3次元空間内の有界領域としたときに、上のラプラス方程式の境界値問題の解はなぜ1つではないんでしょうか?

すいませんが教えてくれませんか?

Aベストアンサー

ラプラスの方程式の解には、三角関数が現れ、その倍振動も境界条件を満たし、それら全て、無限の倍振動の一次結合が解となるためです。
例えば、解に A・exp(i・k_x・x) という項が現れたとすると、
A・exp(i・n・k_x・x) (n=2,3,…) も解です。
なお、∇u には、大きさ √(k_x^2+k_y^2+k_z^2) のベクトルが現れますが、このベクトル k と、境界における、成分が x、y、z の位置ベクトルは直交、つまり、k_x・x+k_y・y+k_z・z=0 の条件を満たします。

Q胃がん検診で十二指腸球部変形、球部壁硬化と診断され

先日、市の胃がん検診で十二指腸球部変形、球部壁硬化と診断され、要精密検査と問診表に書かれて郵送されてきました。
すぐに病院で胃カメラ検査の予約をしたのですが、連休を挟んでしまうので4日後になってしまいます。
それまでとても不安なので質問させていただくことにしました。
十二指腸球部変形、球部壁硬化と言うのは、十二指腸の癌の可能性が高いということなのでしょうか?
十二指腸潰瘍でも同じような診断になるのでしょうか?
変形や硬化と書いてありましたが、腫瘍があった場合は腫瘍と書かれているものなのでしょうか?
気になって今夜は眠れそうにありません。

Aベストアンサー

何かあるけれど、それが何か良くわからないから、
万一に備えて、精密検査を受けましょう……
ということです。

ほとんどの場合には、過去の病気の痕跡や先天的な変形で、
問題ありません。
でも、がんの可能性がゼロではないので、検査をします。
99%癌ではないから、検査は不要……
ということにはならないのですよ。
そもそも、検診とは、その1%の為にするのですから。

Q微分方程式の境界値問題です。

境界値問題をラプラス変換を使って解く問題なんですけど、
X”-X'-2X=3e^2t X(0)=0, X(1)=e^2 という問題なんですが、
像方程式sX^2-c-sX-2X=3/s-2 
となったんですけど、ここからどうしたらいいのかがわかりません。
ちなみに解はx=te^2t になります。

Aベストアンサー

変換前を小文字、変換後を大文字で書きます。
  x''(t)-x'(t)-2x = 3exp(2t)
両辺をラプラス変換すると
  (s^2X(s)-sx(0)-x'(0)) -(sX(s)-x(0)) -2X(s) = 3/(s-2)

ここからX(s)をすべてまとめて
  X(s) = ~
の形に式を整理します。
整理したら両辺を逆ラプラス変換すれば
  x(t) = ~
の形で解が求まります。

Q初期胃がん 術後の合併症 8ヶ月の入院

父が胃がんのため手術しましたが、私が遠方にいるため、以下内容は、父、母、姉からのなんとなく聞いたもので、あいまいな部分もあります。主治医と私が直接話ができる環境にないため、ご経験、ご見識のある方にお伺いしたいと思います。

70歳の父が今年1月に初期胃がんのため、胃の半分(2/3だったかもしれません)胆嚢、リンパ節を切除し、十二指腸と胆管、小腸と胃をつなぎ合わせたようです。術後、すぐは良好で、すぐに食事も始まり、1週間ほどで退院予定でしたが、高熱が出て、合併症と分かり、すぐ絶食。 手術したところから、液が漏れていたということで、(家族の説明でははっきり分かりませんが、すい液ろう、縫合部狭窄、縫合不全かと思います) 管を通し、膿を取り、定期的に洗浄というのを3,4ヶ月続いたと思います。その後、食事が始まり、変わらず管から膿を取り、洗浄しています。膿はずいぶん減ってきていて、穴も残すところ1つの状況です。

もう8ヶ月以上の入院になってしまい、その間、再縫合の手術の話もありましたが、高齢のため、体力なども考慮し、様子見をしようといわれ、今になります。病院内部の情報では、「その先生は、衛生面の徹底にかける部分がある。」と耳にし、家族は、一度、他で、再縫合専門の先生、もしくはそういう病院がないか紹介してもらえないか聞いてみましたが、途中で他の病院には、無理ですと断られました。

父は他の病院に移る気はなく、先生のことを信頼しています。 8ヶ月以上の入院に痺れを切らし、父は、先生にまだ少し液が漏れている穴を埋めて、退院を希望したそうです。父の話では、のりのようなもので、穴を接着できるときいています。 再縫合ではなく、液体か何かを流して、固まる・・・みたいなことを言っていました。

今まで8ヶ月接着をしてこなかったのに、父の希望で、接着するということは、何かリスクがあるのではないか、これまでの経過、(1)「今になっての接着」の行程は、良くあることなのか、(2)どんなリスクが伴うのか、(3)この接着というのもどういうものなのか、いまいち父の説明では分かりませんでした。
この接着で、更なる合併症などが起こったりしないのか、心配です。

長文になりましたが、(1)~(3)点ご存知の方、どうぞよろしくお願いいたします。

父が胃がんのため手術しましたが、私が遠方にいるため、以下内容は、父、母、姉からのなんとなく聞いたもので、あいまいな部分もあります。主治医と私が直接話ができる環境にないため、ご経験、ご見識のある方にお伺いしたいと思います。

70歳の父が今年1月に初期胃がんのため、胃の半分(2/3だったかもしれません)胆嚢、リンパ節を切除し、十二指腸と胆管、小腸と胃をつなぎ合わせたようです。術後、すぐは良好で、すぐに食事も始まり、1週間ほどで退院予定でしたが、高熱が出て、合併症と分かり、すぐ絶...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは!ご心配ですね。私は去年11月に胃の3分の2を切除し、縫合不全が発覚し、47日間の入院となりました。早期胃がんのステージ1Aでした。過去の手術の際、医師から傷が治りにくいと言われたことを思い出し、縫合不全はしかたなかったことだと考えています。縫合部分と傷口が交通してしまった訳です。すぐにその治療が始まり、交通した部分が奥の方からだんだんと塞がってきてあと少しというときになった状態で、傷を完全に塞ぐためにのりのようなものを吹きつけるとの説明がありました。普通は4~5回繰り返すそうです。1回目のあと一週間して2回目をするために透視をしたところ、すでに完全に塞がっているのがわかり、その治療は終わりました主治医は1回はめずらしいとおっしゃっていました。。外側の傷が自分で処置できるような状態になったところで退院しました。順調から一変してトラブルとなり、今度はその治療のためチームが一丸となって取り組むという姿勢を目の当たりにし、感服した次第です。
初期の胃がんで3分の2を切除の場合、残った胃と十二指腸をつなぎ周りのリンパをとるだけです。他に問題があるからその部分を切除したのではないでしょうか?1回の手術で複数の切除と縫合があれば体の負担も増大し、年齢も合わせればさらに大きなダメージとなるでしょう。しかも絶食が3~4ヶ月も続いたというのはご高齢ならば相当なダメージではないでしょうか?傷の治りも全身状態もかなりのものだと思われますね。ちなみに私は62才でした。退院前2週間は暇をもてあまし、歩いてばかりいました。
8ヶ月は確かに長いでしょう。ご心配もわかります。他の方もおっしゃっているようにご自身が主治医に直接お聞きになるのが一番だと思います。そうは言っても簡単に行かれないのでご質問されたのですよね。主治医宛に病院へお手紙を出されたらいかがでしょう?
お父様が一日も早くご快復されることをお祈りいたします。

こんにちは!ご心配ですね。私は去年11月に胃の3分の2を切除し、縫合不全が発覚し、47日間の入院となりました。早期胃がんのステージ1Aでした。過去の手術の際、医師から傷が治りにくいと言われたことを思い出し、縫合不全はしかたなかったことだと考えています。縫合部分と傷口が交通してしまった訳です。すぐにその治療が始まり、交通した部分が奥の方からだんだんと塞がってきてあと少しというときになった状態で、傷を完全に塞ぐためにのりのようなものを吹きつけるとの説明がありました。普通は4~5回繰...続きを読む

Q微分方程式の初期値問題

友達とも考えてみたのですが、どうにもわからないので質問します。
以下の微分方程式の初期値問題の解を求めよ。
y''+y=r(x) y(0)=0,y'(0)=0
(0≦x≦π)の時 r(x)=1-(x/π)
(x>π)の時   r(x)=0
0≦x≦πの時は初期条件によってちゃんと任意定数が定まるのですが、x>πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。x>πの時、任意定数を求めることができるかどうか教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
y(0)=C2+1=0
y'=C1cos(x)-C2sin(x)+r'(x)
y'(0)=C1-(1/π)=0
∴C1=1/π, C2=-1
と任意定数が決まります。

> x>πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。
勘違いされていませんか?
(0≦x≦π)の時 r'(x)=-1/π
(x>π)の時   r'(x)=0 
r(x)やr'(x)のグラフを書いてみて下さい。
r(x)やr'(x)は x=πで関数が場合分けされていますが、普通の1つの関数やその微分に過ぎません。
一般解は「x≧0」で
y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
であり
その微分が
y'=C1cos(x)-C2sin(x)+r'(x)
です。

初期条件は
x=0でのy,y'に与えて任意定数C1,C2を決めればいいです。

x>πの場合分けと初期条件は関係ありません。
r(x)は場合分けが入っていますが、x≧0で定義された単なる1つの関数です。初期条件とは関係ありません。r(x)が折れ線になっているかといって
一般解は「x≧0」で
y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
で一般解なのです。
xをπの前後で場合分けしてもちゃんと同じもとの
微分方程式を満足していると思います。
r(x)を一つの関数と考えて下さい。場合わけに惑わされないようにして下さい。

y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
y(0)=C2+1=0
y'=C1cos(x)-C2sin(x)+r'(x)
y'(0)=C1-(1/π)=0
∴C1=1/π, C2=-1
と任意定数が決まります。

> x>πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。
勘違いされていませんか?
(0≦x≦π)の時 r'(x)=-1/π
(x>π)の時   r'(x)=0 
r(x)やr'(x)のグラフを書いてみて下さい。
r(x)やr'(x)は x=πで関数が場合分けされていますが、普通の1つの関数やその微分に過ぎません。
一般解は「x≧0」で
y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
であり...続きを読む

Q胃がんの初期症状教えて下さい

先週から胃痛の不快感や食欲不振が顕著に出ていて、病院で処方された胃腸薬飲んでも治らず、げっぷがたくさん出てたまに胃液が混じってたりもします。

暖かいところではそんなに胃痛はしませんが、少し寒いとキリキリ痛みだすのでよろしくお願いします。

Aベストアンサー

胃がんは初期の場合、自覚症状がほとんどないことが多いです。
心配なら、内視鏡や、バリウム検査をしてもらうことをお勧めします。

Q初期値問題

解き方のわからない問題があります。
どなたかアドバイスしてください。

次の初期値問題の解を求めたいです。
y'+y=2sint,y(0)=0

*参考表*
f(t)    L(t)
1     1/s
t     1/s^2
t^2    2/s^3
e^at    1/(s-a)
cosωt   s/(s^2+ω^2)
sinωt   ω/(s^2+ω-2)
coshat   s/(s^2-ω^2)
sinhat   a/(s^2-ω^2)
e^at*cosωt (s-a)/{(s-a)^2+ω^2)}
e^at*sinωt ω/{(s-a)^2+ω^2)

自分で計算してみましたが
sL(y)-y(0)+L(y)=2/(s^2+1)
(s+1)Y=2/(s^2+1)
Y=2/{(s^2+1)(s+1)}
この後がわかりません。

Aベストアンサー

Y=L(y) = 2/{(s^2+1)(s+1)}
    = -s/(s^2+1) + 1/(s^2+1) + 1/(s+1)
逆変換して、
y = -cos(t)+sin(t)+e^(-t)


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