初期値問題と境界値問題の違いについて知りたいのですが、教えていただけないでしょうか。つまり、初期条件と境界条件の違いです・・・。
アバウトにではなく数学的にきっちりと教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

初期値問題と境界値問題はどちらも微分方程式に関する分類です。



例として常微分方程式をとります。
関数Yi、i=1, 2, 3, ・・・・,nに対して
 dYi
-----=f'i(X,Y1,Y2,・・・・・,Yn)  i=1,2,・・・・,n
dX
の一般形をしたn元連立微分方程式がある。
このとき、関数Yiを完全に求める(ただ1つに定める)には、n個の数値条件が
必要となります。
その数値条件を、すべてのYiについて出発点Xsでの値を与える。
これが初期値問題です。
そして、2転移上のXでYiの値を定める。
一般的には、条件のいくつかを出発点Xsで、残りを終点Xfで与える。
これが境界値問題です。

つまり、出発点からその後の様子を調べるのが初期値問題で、一般的には出発点と
到着点からその間の様子を調べるのが境界値問題です。

わかりましたでしょうか?
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アバウトじゃなく言うと、抽象的になっちゃいますが、


●初期値問題は、境界値問題の特別な場合に過ぎません。
 一般に空間Xで定義される関数族に関する微分方程式(いや積分方程式でも良いんですが)が与えられ、さらにXの部分集合C上で値(関数やその導関数の値など:これが境界値です)が与えられている時に、微分方程式を満たしかつC上で境界値に一致するような関数(これが解です)を求めるのが境界値問題。
 境界値問題のうちで、特に空間Xが「時刻」と見なしうる座標軸を持っていて、時刻が0であるような部分集合をCとし、さらに時刻が負である部分については解を要求しない場合、これが初期値問題です。

 例を挙げるとすると、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式(連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、)が与えられていて、またこの空間中に曲面なり曲線なり(閉じていても開いていてもいいけど)が与えられ、その曲面上で、解がたとえば決められた値を取る。そのような解を求めよ、というのが境界値問題。さらに具体的な例を挙げるなら、かくかくの微分方程式を満たし、かつ単位球殻上で値が0になるものを求む、というような問題ですね。もっと具体的な例を挙げれば、マックスウェル方程式において、球面上で至る所電位が1であるような解を求む、みたいな。
 初期値問題の方は、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式(連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、)が与えられていて、またこの空間中に「時刻」と呼ばれる軸がひとつあって、時刻=0という超平面上で境界値が与えられ、なおかつ時刻<0である部分に付いては解を求めなくて結構である、という問題です。つまりt=0において初期条件を与えたとき、その微分方程式(なり積分方程式なり)で時間発展を見るとどうなるか、それを問うわけですね。だから特に「初期値」と呼ぶだけのことです。
 こんなもんでよろしいかしら。
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Q微分方程式の初期値問題を解く問題なのですが… f'(x)+4f(x)+

微分方程式の初期値問題を解く問題なのですが… f'(x)+4f(x)+x^4=∫(範囲は0~x)f(t)dt,f(0)=0 これが解けなくて悩んでいます。 どなたか解き方を教えてください! よろしくお願いします!

Aベストアンサー

f'(x)+4f (x)+x^4=∫(0~x)f(t)dt…(1)
初期条件
f (0)=0 …(2)
(1)でx=0とおくと
f'(0)=0 …(3)

(1)を微分
f"(x)+4f '(x)+4x^3=f(x)
移項して整理すると
f"(x)+4f '(x)-f(x)=-4x^3 …(4)

(4)の斉次方程式の一般解f1(x)
f"(x)+4f '(x)-f(x)=0
s^2+4s-1=0
s=-2±√5
f1(x)=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t …(5)

(4)の特殊解f2(x)
f2(x)=ax^3+bx^2+cx+d …(6)
とおき(4)に代入
6ax+2b+4(3ax^2+2bx+c)-ax^3-bx^2-cx-d=-4x^3

(4-a)x^3+(12a-b)x^2+(6a+8b-c)x+2b+4c-d=0

xの恒等式なので各次の係数は全て0とおける。
a=4,b=48,c=408,d=1728
(6)に代入
f2(x)=4(x^3+12x^2+102x+432) …(7)

(4)の一般解は
f(x)=f1(x)+f2(x)
=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t+4(x^3+12x^2+102x+432) …(8)

初期条件(2),(3)から
f(0)=c1+c2+1728=0
f'(0)=(-2+√5)c1+(-2-√5)c2+408=0
これらをc1,c2について解けば
c1=-(1932(√5)+4320)/5,c2=(1932(√5)-4320)/5 …(9)

(9)を(8)にに代入すれば(1)の微分方程式の答えが求まる。

f'(x)+4f (x)+x^4=∫(0~x)f(t)dt…(1)
初期条件
f (0)=0 …(2)
(1)でx=0とおくと
f'(0)=0 …(3)

(1)を微分
f"(x)+4f '(x)+4x^3=f(x)
移項して整理すると
f"(x)+4f '(x)-f(x)=-4x^3 …(4)

(4)の斉次方程式の一般解f1(x)
f"(x)+4f '(x)-f(x)=0
s^2+4s-1=0
s=-2±√5
f1(x)=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t …(5)

(4)の特殊解f2(x)
f2(x)=ax^3+bx^2+cx+d …(6)
とおき(4)に代入
6ax+2b+4(3ax^2+2bx+c)-ax^3-bx^2-cx-d=-4x^3

(4-a)x^3+(12a-b)x^2+(6a+8b-c)x+2b+4c-d=0

xの恒等式なので各次の係数は全て0とおける。
a=4...続きを読む

Qラプラス方程式の境界値問題

∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2 = 0  in Ω

∇u・n = 0  on Ωの境界 ( nは境界の外向き法線ベクトルです)


Ωを3次元空間内の有界領域としたときに、上のラプラス方程式の境界値問題の解はなぜ1つではないんでしょうか?

すいませんが教えてくれませんか?

Aベストアンサー

ラプラスの方程式の解には、三角関数が現れ、その倍振動も境界条件を満たし、それら全て、無限の倍振動の一次結合が解となるためです。
例えば、解に A・exp(i・k_x・x) という項が現れたとすると、
A・exp(i・n・k_x・x) (n=2,3,…) も解です。
なお、∇u には、大きさ √(k_x^2+k_y^2+k_z^2) のベクトルが現れますが、このベクトル k と、境界における、成分が x、y、z の位置ベクトルは直交、つまり、k_x・x+k_y・y+k_z・z=0 の条件を満たします。

Q微分方程式の境界値問題です。

境界値問題をラプラス変換を使って解く問題なんですけど、
X”-X'-2X=3e^2t X(0)=0, X(1)=e^2 という問題なんですが、
像方程式sX^2-c-sX-2X=3/s-2 
となったんですけど、ここからどうしたらいいのかがわかりません。
ちなみに解はx=te^2t になります。

Aベストアンサー

変換前を小文字、変換後を大文字で書きます。
  x''(t)-x'(t)-2x = 3exp(2t)
両辺をラプラス変換すると
  (s^2X(s)-sx(0)-x'(0)) -(sX(s)-x(0)) -2X(s) = 3/(s-2)

ここからX(s)をすべてまとめて
  X(s) = ~
の形に式を整理します。
整理したら両辺を逆ラプラス変換すれば
  x(t) = ~
の形で解が求まります。

Q微分方程式の初期値問題

友達とも考えてみたのですが、どうにもわからないので質問します。
以下の微分方程式の初期値問題の解を求めよ。
y''+y=r(x) y(0)=0,y'(0)=0
(0≦x≦π)の時 r(x)=1-(x/π)
(x>π)の時   r(x)=0
0≦x≦πの時は初期条件によってちゃんと任意定数が定まるのですが、x>πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。x>πの時、任意定数を求めることができるかどうか教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
y(0)=C2+1=0
y'=C1cos(x)-C2sin(x)+r'(x)
y'(0)=C1-(1/π)=0
∴C1=1/π, C2=-1
と任意定数が決まります。

> x>πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。
勘違いされていませんか?
(0≦x≦π)の時 r'(x)=-1/π
(x>π)の時   r'(x)=0 
r(x)やr'(x)のグラフを書いてみて下さい。
r(x)やr'(x)は x=πで関数が場合分けされていますが、普通の1つの関数やその微分に過ぎません。
一般解は「x≧0」で
y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
であり
その微分が
y'=C1cos(x)-C2sin(x)+r'(x)
です。

初期条件は
x=0でのy,y'に与えて任意定数C1,C2を決めればいいです。

x>πの場合分けと初期条件は関係ありません。
r(x)は場合分けが入っていますが、x≧0で定義された単なる1つの関数です。初期条件とは関係ありません。r(x)が折れ線になっているかといって
一般解は「x≧0」で
y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
で一般解なのです。
xをπの前後で場合分けしてもちゃんと同じもとの
微分方程式を満足していると思います。
r(x)を一つの関数と考えて下さい。場合わけに惑わされないようにして下さい。

y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
y(0)=C2+1=0
y'=C1cos(x)-C2sin(x)+r'(x)
y'(0)=C1-(1/π)=0
∴C1=1/π, C2=-1
と任意定数が決まります。

> x>πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。
勘違いされていませんか?
(0≦x≦π)の時 r'(x)=-1/π
(x>π)の時   r'(x)=0 
r(x)やr'(x)のグラフを書いてみて下さい。
r(x)やr'(x)は x=πで関数が場合分けされていますが、普通の1つの関数やその微分に過ぎません。
一般解は「x≧0」で
y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
であり...続きを読む

Q初期値問題

解き方のわからない問題があります。
どなたかアドバイスしてください。

次の初期値問題の解を求めたいです。
y'+y=2sint,y(0)=0

*参考表*
f(t)    L(t)
1     1/s
t     1/s^2
t^2    2/s^3
e^at    1/(s-a)
cosωt   s/(s^2+ω^2)
sinωt   ω/(s^2+ω-2)
coshat   s/(s^2-ω^2)
sinhat   a/(s^2-ω^2)
e^at*cosωt (s-a)/{(s-a)^2+ω^2)}
e^at*sinωt ω/{(s-a)^2+ω^2)

自分で計算してみましたが
sL(y)-y(0)+L(y)=2/(s^2+1)
(s+1)Y=2/(s^2+1)
Y=2/{(s^2+1)(s+1)}
この後がわかりません。

Aベストアンサー

Y=L(y) = 2/{(s^2+1)(s+1)}
    = -s/(s^2+1) + 1/(s^2+1) + 1/(s+1)
逆変換して、
y = -cos(t)+sin(t)+e^(-t)


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