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 初期値問題と境界値問題の違いについて知りたいのですが、教えていただけないでしょうか。つまり、初期条件と境界条件の違いです・・・。
アバウトにではなく数学的にきっちりと教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

アバウトじゃなく言うと、抽象的になっちゃいますが、


●初期値問題は、境界値問題の特別な場合に過ぎません。
 一般に空間Xで定義される関数族に関する微分方程式(いや積分方程式でも良いんですが)が与えられ、さらにXの部分集合C上で値(関数やその導関数の値など:これが境界値です)が与えられている時に、微分方程式を満たしかつC上で境界値に一致するような関数(これが解です)を求めるのが境界値問題。
 境界値問題のうちで、特に空間Xが「時刻」と見なしうる座標軸を持っていて、時刻が0であるような部分集合をCとし、さらに時刻が負である部分については解を要求しない場合、これが初期値問題です。

 例を挙げるとすると、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式(連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、)が与えられていて、またこの空間中に曲面なり曲線なり(閉じていても開いていてもいいけど)が与えられ、その曲面上で、解がたとえば決められた値を取る。そのような解を求めよ、というのが境界値問題。さらに具体的な例を挙げるなら、かくかくの微分方程式を満たし、かつ単位球殻上で値が0になるものを求む、というような問題ですね。もっと具体的な例を挙げれば、マックスウェル方程式において、球面上で至る所電位が1であるような解を求む、みたいな。
 初期値問題の方は、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式(連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、)が与えられていて、またこの空間中に「時刻」と呼ばれる軸がひとつあって、時刻=0という超平面上で境界値が与えられ、なおかつ時刻<0である部分に付いては解を求めなくて結構である、という問題です。つまりt=0において初期条件を与えたとき、その微分方程式(なり積分方程式なり)で時間発展を見るとどうなるか、それを問うわけですね。だから特に「初期値」と呼ぶだけのことです。
 こんなもんでよろしいかしら。
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初期値問題と境界値問題はどちらも微分方程式に関する分類です。



例として常微分方程式をとります。
関数Yi、i=1, 2, 3, ・・・・,nに対して
 dYi
-----=f'i(X,Y1,Y2,・・・・・,Yn)  i=1,2,・・・・,n
dX
の一般形をしたn元連立微分方程式がある。
このとき、関数Yiを完全に求める(ただ1つに定める)には、n個の数値条件が
必要となります。
その数値条件を、すべてのYiについて出発点Xsでの値を与える。
これが初期値問題です。
そして、2転移上のXでYiの値を定める。
一般的には、条件のいくつかを出発点Xsで、残りを終点Xfで与える。
これが境界値問題です。

つまり、出発点からその後の様子を調べるのが初期値問題で、一般的には出発点と
到着点からその間の様子を調べるのが境界値問題です。

わかりましたでしょうか?
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