No.2
- 回答日時:
アバウトじゃなく言うと、抽象的になっちゃいますが、
●初期値問題は、境界値問題の特別な場合に過ぎません。
一般に空間Xで定義される関数族に関する微分方程式(いや積分方程式でも良いんですが)が与えられ、さらにXの部分集合C上で値(関数やその導関数の値など:これが境界値です)が与えられている時に、微分方程式を満たしかつC上で境界値に一致するような関数(これが解です)を求めるのが境界値問題。
境界値問題のうちで、特に空間Xが「時刻」と見なしうる座標軸を持っていて、時刻が0であるような部分集合をCとし、さらに時刻が負である部分については解を要求しない場合、これが初期値問題です。
例を挙げるとすると、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式(連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、)が与えられていて、またこの空間中に曲面なり曲線なり(閉じていても開いていてもいいけど)が与えられ、その曲面上で、解がたとえば決められた値を取る。そのような解を求めよ、というのが境界値問題。さらに具体的な例を挙げるなら、かくかくの微分方程式を満たし、かつ単位球殻上で値が0になるものを求む、というような問題ですね。もっと具体的な例を挙げれば、マックスウェル方程式において、球面上で至る所電位が1であるような解を求む、みたいな。
初期値問題の方は、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式(連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、)が与えられていて、またこの空間中に「時刻」と呼ばれる軸がひとつあって、時刻=0という超平面上で境界値が与えられ、なおかつ時刻<0である部分に付いては解を求めなくて結構である、という問題です。つまりt=0において初期条件を与えたとき、その微分方程式(なり積分方程式なり)で時間発展を見るとどうなるか、それを問うわけですね。だから特に「初期値」と呼ぶだけのことです。
こんなもんでよろしいかしら。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
初期値問題と境界値問題はどちらも微分方程式に関する分類です。
例として常微分方程式をとります。
関数Yi、i=1, 2, 3, ・・・・,nに対して
dYi
-----=f'i(X,Y1,Y2,・・・・・,Yn) i=1,2,・・・・,n
dX
の一般形をしたn元連立微分方程式がある。
このとき、関数Yiを完全に求める(ただ1つに定める)には、n個の数値条件が
必要となります。
その数値条件を、すべてのYiについて出発点Xsでの値を与える。
これが初期値問題です。
そして、2転移上のXでYiの値を定める。
一般的には、条件のいくつかを出発点Xsで、残りを終点Xfで与える。
これが境界値問題です。
つまり、出発点からその後の様子を調べるのが初期値問題で、一般的には出発点と
到着点からその間の様子を調べるのが境界値問題です。
わかりましたでしょうか?
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