またまた因数分解・・・・・

a^3＋b^3＋c^3－３abcの因数分解して
（a＋b＋c）（a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca）
になるらしいんですけど・・・・
どうしてもわかりません。。
ヒント＆解説教えてください。。
お願いします。。（──┬──＿＿──┬──）

ＰＳ　ＨＰ変わったんですね、
　　　　　なんかフレッシュですね。

No.6 ベストアンサー 回答者： mickel131 回答日時： 2004/04/18 10:11

I＝a^3＋b^3＋c^3－３abc　とおきます。

a^3＋b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)
ですね。この式の両辺に　c^3－３abc　を加えます。
I＝a^3＋b^3＋c^3－３abc
＝(a+b)(a^2-ab+b^2)＋c^3－３abc　
＝(a+b)(a^2-ab+b^2)　＋c(c^2-3ab)
ここで、a+b+c＝k とおくところが最も大事なポイントです。
a+b＝k-c を上式に代入して、
Ｉ＝（k-c)(a^2-ab+b^2)＋c(c^2-3ab)
　＝k(a^2-ab+b^2) -c(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
＝k(a^2-ab+b^2) -c(a^2-ab+b^2-c^2+3ab)
＝k(a^2-ab+b^2) -c(a^2+2ab+b^2 -c^2)
＝k(a^2-ab+b^2) -c{(a+b)^2 -c^2}
＝k(a^2-ab+b^2) -c(a+b+c)(a+b-c)
＝k(a^2-ab+b^2) -ck(a+b-c)
＝k(a^2-ab+b^2) -k(ca+cb-c^2)
＝k(a^2-ab+b^2 -ca-cb+c^2)
＝（a＋b＋c）（a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca）

a+b+c＝k とおくことで、目標の式の形が k( )であることがわかるわけです。　

No.7 回答者： kony0 回答日時： 2004/04/18 21:55

a^3+b^3+c^3-3abc

={(a+b)^3-3ab(a+b)}+c^3-3abc
={(a+b)^3+c^3}-3ab(a+b+c)
ここまでいけば、あとは一本道。
(a+b+c)がくくり出せます。

No.5 回答者： takkochan 回答日時： 2004/04/18 07:51

書き忘れました。

私は、高校卒後26年になります。
No.2さんの言われることは、ごもっともで、たぶん、公式として覚えられた方が良いでしょう。覚えておらず、ましてや、もっと基本的な(a+b+c)^2なども覚えていなければ、
No.4のように時間がかかってしまいます。

従って、高校時代は、間違いなく覚えていた方が得です。
私も高校時代、たぶん、この公式は覚えていたと思います。しかし、私は、高校時代、公式を覚えるのが、極めて苦手でした。しかし、導くのは得意でした。
今、26年経って思うこと。(a+b+c)^2も忘れているけれど、高校数学のほとんどの公式は導けます。

高校時代の数学の先生は、言っていました。高校程度の数学は、暗記で何とかなるんだ。お前は覚える努力が足りないんだと。

しかし、私は、問題数の多い定期テストは、クラスの平均以下でしたが、全国レベルの模試では何度か満点を取りました。

今でも思います。必要のない公式は覚える必要はない。導ければよいと。

（但し、高校生は、最低限は覚えた方が良いでしょう。何せ、時間制限がありますから）

No.4 回答者： takkochan 回答日時： 2004/04/18 07:37

数学は専門ではありませんが、公式は導くものという考えでやっています。

No1.さんのは、良いヒントになりそうですね。

しかし公式を知らないので、展開してみましょう。ちな
みに、(a+b+c)^3 どころか、(a+b+c)^2も知らない（忘れた）のでここからやりましょう。
(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)=a^2+ab+ca+ab+b^2+bc+ca+bc+c^2
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

従って、
(a+b+c)^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)
=a^3+ab^2+ac^2+2ba^2+2abc+2ca^2+ba^2+b^3+bc^2+2ab^2
+2cb^2+2abc+ca^2+cb^2+c^3+2abc+2bc^2+2ac^2
=a^3+b^3+c^3+3ab^2+3ba^2+3ac^2+3ca^2+3bc^2+3cb^2+6abc
よって、
a^3＋b^3＋c^3－3abc
=(a+b+c)^3-3ab^2-3ba^2-3ac^2-3ca^2-3bc^2-3cb^2-9abc
=(a+b+c)^3-3(ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2+3abc)
第２項をaについて整理すると（ｂでもｃでも良いですが例えばaについて）
a^3＋b^3＋c^3－3abc
=(a+b+c)^3-3{(b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+bc(b+c)
第2項の{}内について、たすきがけによる因数分解を試みる。すなわち、
(b+c)　　bc
1 　　　(b+c)
よって、第２項の｛　｝内は、
{(b+C)a+bc}{a+b+c}と因数分解できる。
従って、
a^3＋b^3＋c^3－3abc
=(a+b+c)^3-3{(b+C)a+bc}{a+b+c}
=(a+b+c){(a+b+c)^2-3{(b+C)a+bc}
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3ca-3bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ca-bc)

とめでたく求まりました。
長くなりましたが、このように、解答を詳しく書くことは本意ではありません。

しかし、ほとんど公式を覚えていなくても（私、本当に、(a+b+c)^2の公式を忘れていました。(a+b)^2なら覚えているのですが・・・）、基本的な考え方があれば、あとは、何とかなるものです。

質問者さんは、どうしてもわかりませんと書かれていますが、これからは、もう少し考えるようにされたら如何でしょうか。

私も、高校時代は数学が得意でしたが、公式なんかすっかり忘れてしまいました。でも、こうやって、今でも何とか、公式を導くことはできます。

もっと、スマートな解法があるかもしれませんが、ちょっと年を取ったものでも何とか答えを出せる泥臭い方法もたまには良いかもしれません。

長文失礼しました。
　

No.3 回答者： bttf2003 回答日時： 2004/04/18 06:15

こういう質問に答えるのは、非常に難しいです。

この問題は、多分、高校の数学問題集とか、因数分解の授業の後の応用問題として、出題される事が多いと思います。
「この問題を解いて何がわかるか？」が、一人一人違います。
よって、質問者さんが数学に何を求めているか？に対する考え方が分からないと、一意的な答えは出来ません。
単に、テストの点数がほしいだけなら、＃２さんの回答でいいと思います。
しかし、数学の本質（何故、役に立ちそうもない問題を解かないといけないのか？）を知りたいなら、「もっと他の基礎的な学問（学問と限定する必要はありませんが）を、身に付ける必要がある」とアドバイスします。

私は、前者の立場だと判断しますので、「補足」があれば、別の回答を提示します。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2004/04/18 02:11

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

は公式として覚えた方がいいと思いますよ。
a^3+b^3+c^3-3abcなんて、知らなければ、因数分解できませんし。もし、できるとしても、それなりに時間がかかってしまいますからね。

それに、３つの相加相乗平均(?)の証明とか,3次方程式の解の公式を求める方法には、これを使った方法がありますし。

なぜ、こうなるか、と聞かれても,右辺を展開すれば,左辺になるから,としか言えないと思いますが・・・。

例えば、a^2-b^2を因数分解して、(a+b)(a-b)になるのはなぜ？と聞かれたら、どう説明しますか？

No.1 回答者： noname#6829 回答日時： 2004/04/18 01:42

いいヒントになるかどうか・・・

(a+b+c)^3 がどうなるか　に着目するというのはどうでしょう。