(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3の因数分解

与式：(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3　の因数分解の方法について考えています。

展開して１つの文字について整理する方法で、もちろん答え
3(a-b)(b-c)(c-a)が得られました。

上の方法とは別に、因数定理と対称性について注目しました。
与式において、a=bとすると与式の値は0になるので
与式は(a-b)を因数に持ちます。
さらに式の対称性から(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持つと思います。
さらに次数の関係から、そのほかに文字の因数を持たない。
よって、(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 = k(a-b)(b-c)(c-a) （kは定数）
と因数分解されると思います。
左辺においてa^2bの係数は-3,
右辺においてa^2bの係数は-k
ここからk=3と求められると考えました。

この考え方に穴はあるでしょうか？
また、その他、うまい因数分解の手法や考え方はあるでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  No1（t_fumiakiさん）の回答で
  数式中の指数が右肩に小さく表示されています。
  教えて！gooでこのような入力ができることに驚いています。
  入力の仕方がわかる人、いますか？

    補足日時：2019/12/16 22:21

No.6 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/12/17 11:29

A=a-b,B=b-cとおくとc-a=-(A+B)

与式=A^3+B^3-(A+B)^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)-(A+B)(A^2+2AB+B^2)=(A+B)*(-3AB)=3AB*{(-(A+B)}=3(a-b)(b-c)(c-a)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
この変数の置き換えはすごいですね。

c-a=-(A+B)の置き換えが印象的です。
また、与式で(A+B)の因数が巧く機能していて(A+B)*(-3AB)と整理されるところが気持ちいいです。
こんな手法もあるのですね。

お礼日時：2019/12/17 16:57

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/12/17 07:07

＞数式中の指数が右肩に小さく表示されています。

＞教えて！gooでこのような入力ができることに驚いています。
＞入力の仕方がわかる人、いますか？

これらの文字は機種依存文字で表示されない端末もあるのでおすすめできませんが、
例えば、私のPCの場合、
「うえつき」変換キー　で上付き文字の候補リストの中に⁰や¹が出ます。

この回答へのお礼

⁰　¹
のように入力できるのですね。
教えてくださりありがとうございます。
積極的に使えるかどうか勇気が要りますが、
私には大きな発見です。
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3
とかくより
(a-b)³+(b-c)³+(c-a)³
のほうが断然視認しやすいです。

お礼日時：2019/12/17 16:54

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/12/16 22:32

No.1です

>>数式中の指数が右肩に小さく表示されています。

全てのサイトで使える訳では無いのですが、このサイトでは特殊文字が使えるので、そうしています。
htmlで記述すれば良いのですが、面倒なので・・・・。

以下に載っています。コピペで使えます。

https://matome.naver.jp/odai/
2131896140848768101?&page=3

https://seesaawiki.jp/w/qvarie/d/%BE%E5%C9%D5%A4 …

この回答へのお礼

教えてくださりありがとうございます。
いくつかコピーしてみました。
⁰ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ᴭ

また、私のパソコンの文字変換でも、例えば
²　³　₄
など入力できることを知りました。

お礼日時：2019/12/17 16:52

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/16 18:36

素敵な解法だと思うけどな。

一番速いだろうし。
k の決定は、係数比較をしてもいいが、
a,b,c に何か値を代入してもいいかと思う。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
>a,b,c に何か値を代入してもいいかと思う。

a=1, b=-1, c=0 や a=0, b=1, c=2 などを代入してやってみました。
この２例のどちらからも 6=2k が得られ、そこから k=3 がわかりますね！
なるほど、です。

お礼日時：2019/12/16 21:45

No.2 回答者： ybnormal 回答日時： 2019/12/16 16:17

A^3+B^3=(A+B)(A^2 - AB +B^2)

を使えば（これを公式として使っていいのかどうかわからないが）、
A=a-b, B=b-c
とすると、問題の式上で、まずa-cなりc-aの項をくくりだせます。
であとは、ガリガリと機械的にやれば、3(a-b)(b-c)(c-a)になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
No1の回答がその詳細な計算ですよね。

お礼日時：2019/12/16 21:39

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/12/16 16:00

3乗の因数分解の公式も使える

A³+B³=(A+B)(A²-AB+B²)



(a-b)³+(b-c)³+(c-a)³

A=a-b,B=b-cとおくと
=A³+B³+(c-a)³

=(A+B)(A²-AB+B²)+(c-a)³

={(a-b)+(b-c)}{(a-b)²-(a-b)(b-c)+(b-c)²}+(c-a)³

=(a-c)(a²-2ab+b²-ab+ac+b²-bc+b²-2bc+c²)+(c-a)³

=(c-a){-a²+2ab-b²+ab-ac-b²+bc-b²+2bc-c²+(c-a)²}

=(c-a)(-a²+2ab-b²+ab-ac-b²+bc-b²+2bc-c²+c²-2ca+a²)

=(c-a)(3ab+3bc-3ac-3b²)

=3(c-a)(ab+bc-ac-b²)

=3(c-a){a(b-c)-b(b-c)}

=3(c-a)(a-b)(b-c)

=3(a-b)(b-c)(c-a)

この回答へのお礼

考えつかない方法でした！
１度だけ３乗の因数分解公式を利用するだけで、後は２次以下の展開・因数分解でたどりついていますね。

お礼日時：2019/12/16 21:38