ブール代数の簡単化の問題についてです。

学校の課題でブール代数の簡単化についての問題が出ました。
自分でも解いてみたのですが、自信がなかったり、わからないところがあります。
間違った解き方をしている部分、回答があっていない部分など、ご教授ください。

[1] a'b + a'c' + abc
= a'(b + c') + abc
[2] ab' + ab + a'b'
= a(b' + b) + a'b'
= a + a'b'
[3] ab + ac + ab'c'
= ab + a(c + b'c')
= ab + a(c + b')
= ab + ac + ab'
= a(b + b') + ac
= a + ac
= a
[4] ab+ c + abc + bc'
= (ab + abc) + (c + bc')
= ab + c + b
= (ab + b) + c
= b + c
[5] ab + abc + ab' + ab'c'
= (ab + abc) + (ab' + ab'c')
= ab + ab'
= a
[6] a'b'c' + a'bc' + abc' + ab'c'
= a'c'(b' + b) + ac'(b + b')
= c'(a' + a)
= c'
[7] abc + ab'c + abc' + ab'c' + a'b'c'
= ab(c + c') + ab'c + c'b'(a + a')
= ab + ab'c + c'b'
= ab + b'(ac + c')
= ab + b'(a + c')
= ab + ab' + b'c'
= a(b + b') + b'c'
= a + b'c'
[8] a'bc'd + abcd' + abcd + a'bcd' + a'bcd
= a'bc'd + abc(d' + d) + a'bc(d' + d)
= a'bc'd + bc(a + a')
= a'bc'd + bc
[9] abd + ab'd' + acd + ac'
= a(bd + b'd') + a(cd + c')
= a(1) + a(d + c')
= a
[10] (a + bc)(a + cd)
= a + bc * cd
= a + bcd

よろしくお願いします。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/16 15:52

[1][2][8] は、間違いではない。

[1] a'(b + c') + abc = a'c' + bc
[2] a + a'b' = a + b'
[8] a'bc'd + bc = a'bd + bc
が成り立つからだ。
質問の答が「簡単」か？といえば、それは
「簡単」の定義次第だ。そういうことに
無自覚ではいけない。

問題は、「簡単」とは何かを定義すること。
それなくしては、問題自体が意味をなさない。

定義した「簡単化」が、任意の論理式に対して
存在するか？存在したとして一意か？を確認
する責任は、その「簡単」を提案した者にある。
一意に定義できたとしても、下手な定義だと、
もっとも「簡単」な式に変形できたかどうか
検証する方法が全数検査しかなくなってしまう
から、注意が必要。

[9] は、確かに間違っている。
二行目から三行目のところで、bd + b'd' = 1
としているように見受けられるが、正しくない。
b'd' は、(bd)' とは違うからだ。
ド・モルガンの定理を思い出そう。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/16 11:18

[1],[2],[8],[9] 間違い

他は合ってます。

[1] ×
a'b + a'c' + abc
=a'c'+b(a'+ac)
=a'c'+b(a'(c'+c)+ac)
=a'c'+b(a'c'+(a'+a)c)
=a'c'(1+b)+(a'+a)bc
=a'c'+bc

[2] ×
ab' + ab + a'b'
=ab'+ab'+ab+a'b'
=ab'+ab+ab'+a'b'
=a(b'+b)+(a+a')b'
=a+b'

[8] ×
a'bc'd + abcd' + abcd + a'bcd' + a'bcd
=a'bc'd + abcd' + abcd + a'bcd' + a'bcd + a'bcd
= a'bc'd + a'bcd + abc(d' + d) + a'bc(d' + d)
= a'bd( c'+ c ) + bc(a + a')
= a'bd + bc

[9] ×
abd + ab'd' + acd + ac'
= abd + ab'd'＋a(cd + c')
= a(bd + b'd') + a(d + c')
= a( c' + bd +d +b'd')
= a( c' + (b+1)d +b'd')
= a( c' + d + b'd')
= a( c' + d( 1 + b') + b'd')
= a( c' + d + b'd + b'd')
= a( c' + d + b'( d + d'))
= ac' + ad + ab'

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/15 23:21

何を以て「簡単」と呼ぶかを、まず定義しないと。

例えば [1] は、
私の主観では、変形前のほうが簡単に見えるし、
あるいは =(a'+c)(b+c') などが簡単かもしれない。

計算過程以前に、考えるべきことがある。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/15 23:15

ざっと見た感じだと

[1], [2], [8], [9]
はおかしい気がする. というか, [1] は全然簡単になってないよね. [2] も, [3] でそのようにもっていけるならもっと簡単にできるはず.