複雑な因数分解で困っています。

因数分解でどうしても、出来ないところがあるのでやり方を教えてください。
前は、出来たのですが、どうやってやっていたのか、自分でも不思議です。
(1)は、答えを見て、何とかその答えにする事が出来ましたが、いまいち分かりません。
(2)は、出来そうで出来ません。
(3)は、その前に、(a^2+b^2)^2-4a^2b^という問題があってそれは出来て、それを応用すれば出来そうですが出来ません。

(1)　abc-ab-bc-ca+a+b+c-1

答え(a-1)(b-1)(c-1)


(2)　a^2b+2a-2b+bc-ca-ab^2

答え(a-b)(ab-c+2)


(3)　(4x^2-y^2-z^2)^2-4y^2z^2

答え(2x+y+z)(2x-y+z)(2x+y-z)(2x-y-z)


どれか一つでいいので、やり方を教えてください。

＊「＾2」というのは、二乗という意味で表記しました。
＊僕は、今年中学を卒業し、来年からは、国立高専に進学します。中学卒業程度のレベルで教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： starflora 回答日時： 2002/03/23 05:17

　

　　因数分解の解き方は、幾つかの基本的なアプローチがあります。式をよく見て、どのアプローチがよいだろうか、と考えて、アプローチで試してみて、うまく解ければＯＫで、うまく解けない場合は、次に考えられるアプローチを使います。
　
　　アプローチとして、別に重要度順ではありませんが、次のような方法があります。
　
　　１）基本的な公式を覚えていて、これが使えるかどうか。基本的な公式とは、例えば、(a+b)^2=z^2+2ab+b^2 とか、(a+b)(a-b)=a^2-b^2 と行ったようなごく基本的な公式です。
　　２）特定の変数、例えばｘで、次数順に並べてみて、整理し、それで何か、見通しが立つかどうか。
　　３）式をよくみて、或る変数と或る変数では、入れ替えて、同じ結果になるかどうか。つまり、入れ替え可能性を考えてみる。
　　４）特定の変数、例えばｘに、１とか－１、２，－２など、それらしいと思った数を入れて、式を整理して見る。
　　５）簡単な変数で置き換えても問題ない複雑な変数は、置き換えを行う。例えば、x^2＝X など。
　
　　大体、この五つぐらいがアプローチです。それぞれ、応用の仕方があり、それは、因数分解しなければならない式をよく眺めて、特徴を捉えて、どのアプローチが行けそうかを判断して見ることです。どうしても、思いつかない場合は、２）の特定の変数の次数順に並べてみて、考えるという方法を採ります。
　
　　とまれ具体的に、上のアプローチでどう応用できるのかの話をします。
　
　
　　問題１）abc-ab-bc-ca+a+b+c-1
　
　　これは、よく式を見てください。ａ，ｂ，ｃの三つの変数で、「入れ替え可能」になっていませんか？　どの変数を他の変数と入れ替えても、同じ結果になります。これは、上の３）のアプローチです。
　
　　入れ替え可能な式を、「対称式」と言います。これは種類が決まっています。例えば、二変数だと、(a+b), ab, (a^2+b^2), (a+x)(b+x) などです。三変数になると、(a+b+c), (ab+bc+ca), (a^2+b^2+c^2), abc, (a+x)(b+x)(c+x) という風に決まったものしかありません。これも一種の公式で、「対称式」の式のパターンです。因数分解する式が、変数について対象になっている場合、必ず、これらの「対称式」が因数として出てきます。そこで、対称式を因数として計算して出し、残りの式の因数分解を考えればよいということになります。
　
　　そこで、abc という項が最初に出ていますから、これは三次の式です。三次の対称式は、abc, (a+x)(b+x)(c+x), (a^3+b^3+c^3) の三つしかありません。最後のものでないのは明らかです。最初の abc だとまだ他の項がありますから足りません。すると、(a+x)(b+x)(c+x) の形しかありません。この式は、x^3 が出てきて、これはａ，ｂ，ｃに関係のない数字の項で、これが－１になります。こういうｘは、ｘ＝－１しかありません。だから、(a-1)(b-1)(c-1) が答えになるのです。確認のためには、この式を展開して、元の式に戻るかどうかを調べればよいでしょう。
　
　　また、「対称式」だと気づいた時点で、アプローチの４）の１とか－１とかを代入して見るという方法を使っても構いません。
　
　　ａ＝１を代入すると、abc-ab-bc-ca+a+b+c-1＝bc-b-bc-c+1+b+c-1＝０ になります。これはどういうことかというと、(a-1) という因数が含まれるということなのです。ａ＝－１を代入して、もしゼロになるなら、(a+1)という因数が含まれることになります。
　
　　あと、ｂ＝１，ｃ＝１も代入してみるとゼロになることが分かります。これは、ａ，ｂ，ｃで入れ替え可能だったのですから、実は当然の結果なのです。すると、(a-1), (b-1), (c-1) の因数があるということになり、三次の式ですから、これらを掛け合わせた、(a-1)(b-1)(c-1) が因数分解だということになります。
　
　
　　問題２）a^2b+2a-2b+bc-ca-ab^2
　
　　これも、「入れ替え」ができないかと考えてみます。ａとｂで入れ替えができそうな感じがしますが、入れ替えると、「－」になります。この入れ替えると全体が「－」になるというのも重要な特徴なのです。これは、(a-b) または (b-a) が因数として含まれるということなのです。ａとｂを入れ替えて、「－」が出てくるのは、この式しかないからです。
　
　　だから、(a-b) で式を整理することができるのだということが分かります。整理すると、
　　(a^2)*b+2a-2b+bc-ca-a*(b^2)
　　＝[ab(a-b)+ab^2]+2a-2b+bc-ca-ab^2
　　ここで、[ab(a-b)+a*b^2] は、最初の (a^2)*b を (a-b) を使って造ってみたのです。すると、余分の a*(b^2) が、後の方の -a*(b^2) と一致して互いに消しあいゼロになることが分かります。つまり式は、
　　＝[ab(a-b)]+2a-2b+bc-ca
　　この [　] の後ろのまだ整理していない部分を (a-b) で整理すると
　　＝[ab(a-b)]+[2(a-b)]+[c(b-a)]
　　＝[ab(a-b)]+[2(a-b)]-[c(a-b)]
　　ここまで計算すると、(a-b) が共通因子だということが、目に見えて確認できます。そこでこの因子でまとめると：
　　＝(a-b){ab+2-c}＝(a-b)(ab-c+2)
　　これが答えです。
　
　
　　問題３）(4x^2-y^2-z^2)^2-4y^2z^2
　
　　これは、本当に難しそうです。しかし、いきなり、展開する前に、よく式を見ます。「対称」になっている変数はないかどうかです。すると、ｙとｚが置き換えることができることが分かります。そのことは、確かです。しかし、式が非常に複雑です。そこで、５）の置き換えができるものは単純なものに置き換えるというのを使うと、よく見ると、x^2, y^2, z^2 と、こういう式しかありません。x, y, xy などはないのです。だから、x^2=X, y^2=Y, z^2=Z と思い切って置き換えてしまいます。整理できたら後で、元に戻せばよいのです。こうすると：
　
　　＝(4x^2-y^2-z^2)^2-4y^2z^2＝(4X-Y-Z)^2-4YZ　になります。
　　ＹとＺで対称だということが非常にはっきり分かります。
　　そこで、式を
　　＝[4X-(Y+Z)]^2 - 4YZ　と表現します。
　　Y, Z の対称性に着目するとこうなります。
　
　　ここで、-4YZ という余計な項が出てきます。これをどうやって、因数分解のなかに入れるかです。ここで、X, Y, Z は、本来、x^2, y^2, z^2 だったことを思い起こします。すると、式は：
　
　　＝[4X-(Y+Z)]^2 - 4(yz)^2
　　ここで、公式の a^2-b^2＝(a+b)(a-b) を使います。すると
　　＝[4X-(Y+Z)+2yz][4X-(Y+Z)-2yz)]
　　＝[4x^2-y^2-z^2+2yz][4x^2-y^2-z^2-2yz]
　　＝[4x^2-(y-z)^2][4x^2-(y+z)^2]
　　＝[{2x+(y-z)}{2x-(y-z)}][{2x+(y+z)}{2x-(y+z)}]
　　＝(2x+y-z)(2x-y+z)(2x+y+z)(2x-y-z)
　　これで、解けたことになります。
　　
　　なお、「対称式」というようなものを覚える必要はありません。よく因数分解する式を眺めると、入れ替えができるか、つまり対称かどうか分かるので、どういう風に因数分解を進めるかの手がかりになるのです。
　　

この回答へのお礼

この場をお借りして、みなさんにお礼申し上げます。
みなさんの、回答を参考にしながら、無事に解く事が出来ました。

ありがとうございまいした。
すべての人にポイントを差し上げたいのですが、申し訳ありません。
気持ちだけ、みなさんに、２０ポイント差し上げます。

お礼日時：2002/03/23 13:21

No.5 回答者： KaitoTVGAMEKOZOU 回答日時： 2002/03/23 02:20

参考URLをどうぞ。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=235735

No.4 回答者： chukanshi 回答日時： 2002/03/23 01:36

しまった、(3)は難しく考えすぎた。

(4x^2-y^2-z^2)^2-4y^2z^2
=(4x^2-y^2-z^2)^2-(2yz)^2
=(4x^2-y^2-z^2+2yz)(4x^2-y~2-z^2^2yz)
=(4x^2-(y-z)^2)(4x^2-(y+z)^2)
=(2x+y-z)(2x-y+z)(2x+y+z)(2x-y-z)

とすればいいんだあ。
失敗失敗。混乱させてごめんなさい。

No.3 回答者： chukanshi 回答日時： 2002/03/23 01:28

(1)

abc-ab-bc-ca+a+b+c-1
=ab(c-1)-a(c-1)-b(c-1)+(c-1)
=(ab-a-b+1)(c-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)

(2)
a^2b+2a-2b+bc-ca-ab^2
=ab(a-b)+2(a-b)-c(a-b)
=(a-b)(ab-c+2)

(3)
(4x^2-y^2-z^2)^2-4y^2z^2
=((4x^2)-(y^2+z^2))^2-4y^2z^2
=(4x^2)^2-2(4x^2)(y^2+z^2)+(y^2+z^2)^2-4y^2z^2
=(4x^2)^2-2(4x^2)(y^2+z^2)+(y^2-z^2)^2
=(4x^2)^2-2(4x^2)(y^2+z^2)+(y+z)^2(y-z)^2
（ここがポイント）
=(4x^2)^2-(4x^2)(2y^2+2z^2)+(y+z)^2(y-z)^2
（ここがポイント）
=(4x^2)^2-(4x^2)((y+z)^2+(y-z)^2)+(y+z)^2(y-z)^2
=(4x^2-(y+z)^2)(4x^2-(y-z)^2)
=(2x+(y+z))(2x-(y+z))(2x+(y-z))(2x-(y-z))
=(2x+y+z)(2x-y-z)(2x+y-z)(2x-y+z)

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2002/03/23 01:23

因数分解の鉄則として

A. 共通因数でくくる
B. 公式を利用
C. 置き換えを利用
D. １つの文字（特に最低次数の文字）に着目して式を整理
E. 適当にうまくgroup分け(^^;)・・・公式が使える形、共通因数の出せそうな形に分ける
などがあります。
それを念頭に解いていきましょう。

(1) １つの文字に着目しましょう。この問題は２乗がないので、とりあえずどれでもいいですかね？ということで、aに注目します。
与式=(abc -ab - ca +a) + (-bc +b +c -1)・・・aのある項とない項にgroup分けします
=a(bc-b-c+1)-(bc-b-c+1)・・・aのあるgroupでは（当然）共通因数aがあるのでくくります
=(a-1)(bc-b-c+1)・・・bc-b-c+1が共通因数でくくれます！
ここで、後ろの括弧の中もb中心で整理してもいいですが、この式はもう因数分解できるでしょう。これで答えにたどり着きます。

(2) これは、aとbについては２乗がありますが、cには２乗がないので、cについて注目します。
与式=(bc -ca) + (a^2b + 2a - 2b - ab^2)
ここで前の括弧は-c(a-b)とできるので、後ろの括弧からも(a-b)が出てくるはず！とにらんで、そうすると2a-2b=2(a-b), a^2b - ab^2 = ab(a-b)というのが見えてきませんか？！
ということで、
与式=-c(a-b) + { 2(a-b) + ab(a-b) }
=(a-b)(-c+2+ab)
これ以上は因数分解できないので、これで終わり。

(3)これは２乗－２乗の因数分解の公式が使えることをにらみます。
ちなみに4y^2z^2 = (2yz)^2ですね。
ちょっとややこしいので、4x^2-y^2-z^2=A, 2yz=Bとおいて
与式=A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)
=(4x^2-y^2-z^2+2yz)(4x^2-y^2-z^2-2yz)
あとはよくある問題になってますよね？
前の括弧は4x^2 - (y^2-2yz+z^2) = (2x)^2 - (y-z)^2 = {2x+(y-z)}{2x-(y-z)}
後ろも同じ様な感じで。

ということでどうでしょうか？

No.1 回答者： vortexcore 回答日時： 2002/03/23 01:13

通りすがりのモノです。

因数分解ってある程度行き当たりばったりのところがあると思います。1はa、b、cが全て等価になっている3次式だということがヒントになるでしょう。2は2a-2bとかbc-caとかいう項があるので、(a-b)でくくれそうだな、ということが判ります。

3はある程度簡単に（論理的に？）できます。

a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

の2つの式を知って入れば、

(4x^2-y^2-z^2)^2-4y^2z^2
={(4x^2-y^2-z^2)+2yz}{(4x^2-y^2-z^2)-2yz}
={4x^2-(y^2-2yz+z^2)}{4x^2-(y^2+2yz+z^2)}
={4x^2-(y-z)^2}{4x^2-(y+z)^2}
=(2x+y-z)(2x-y+z)(2x+y+z)(2x-y-z)

となって、項を適当に入れ替えれば答えになります。