3乗の展開

この前、学校で数学のテストがあり、展開の問題が出題されたのですが、一題分からない問題がありました。
その問題は、授業で使っている問題集になく、先生のオリジナル問題でした。
さらに、先生が作った解答は答えだけで、また現在試験前につき、職員室に入れず、先生に質問することが出来ないので分からないままになっています。
そこで、途中式も含めて次の問題の解答を教えてください。

問題（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3を展開しなさい。

ちなみに、(a＋b)^3や(a＋b＋c)^2の公式は習っています。

No.4 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/02/26 14:40

＞問題（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3を展開しなさい。

（a＋b＋c)^2 の公式を習っていれば，（a＋b＋c)^2 の公式を使って，

(a＋b＋c)^3 ＝(a＋b＋c)・(a＋b＋c)^2 が直ぐに計算できると思います．

問題の展開した計算結果を得るのには，係数だけを考えればいいでしょう．

まず，(a＋b＋c)^3 は，

(a＋b＋c)^3 ＝
＝a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3cb^2+3ac^2+3bc^2+6acb

ですから，係数を書き出すと，

a^3｜b^3｜c^3｜a^2b｜a^2c｜ab^2｜cb^2｜ac^2｜bc^2｜acb｜
＋1｜＋1｜＋1｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜＋6｜(a+b+c)^3

となります．｜　は単なる区切りに使用しているだけです．
次に，（a＋b＋c)^3，(a－b＋c)^3，(a＋b－c)^3，(a－b－c)^3　の係数を書き出して並べると，

a^3｜b^3｜c^3｜a^2b｜a^2c｜ab^2｜cb^2｜ac^2｜bc^2｜acb｜
＋1｜＋1｜＋1｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜＋6｜(a+b+c)^3
＋1｜－1｜＋1｜.－3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.－3｜－6｜(a-b+c)^3
＋1｜＋1｜－1｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.＋3｜－6｜(a+b-c)^3
＋1｜－1｜－1｜.－3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜＋6｜(a-b-c)^3

です．問題は（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3 を展開しなさい．ですから，－(a－b＋c)^3　と　－(a＋b－c)^3　の符号を書き込むと，以下のようになります．

a^3｜b^3｜c^3｜a^2b｜a^2c｜ab^2｜cb^2｜ac^2｜bc^2｜acb｜
＋1｜＋1｜＋1｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜＋6｜(a+b+c)^3
－1｜＋1｜－1｜.＋3｜.－3｜.－3｜.－3｜.－3｜.＋3｜＋6｜-(a-b+c)^3
－1｜－1｜＋1｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.－3｜＋6｜-(a+b-c)^3
＋1｜－1｜－1｜.－3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜＋6｜(a-b-c)^3

これらの係数を　｜　に沿ってタテの加えれば，
（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3 になります．これを計算すると，

a^3｜b^3｜c^3｜a^2b｜a^2c｜ab^2｜cb^2｜ac^2｜bc^2｜acb｜
＋1｜＋1｜＋1｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜.＋3｜＋6｜(a+b+c)^3
－1｜＋1｜－1｜.＋3｜.－3｜.－3｜.－3｜.－3｜.＋3｜＋6｜-(a-b+c)^3
－1｜－1｜＋1｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.－3｜＋6｜-(a+b-c)^3
＋1｜－1｜－1｜.－3｜.－3｜.＋3｜.－3｜.＋3｜.－3｜＋6｜(a-b-c)^3
＋0｜＋0｜＋0｜.＋0｜.＋0｜.＋0｜.＋0｜.＋0｜.＋0｜＋24｜

ですから，

（a＋b＋c)^3－(a－b＋c)^3－(a＋b－c)^3＋(a－b－c)^3 ＝24abc

となります．

この回答へのお礼

なるほど。係数だけを考えることで簡単に解けるのですね。
丁寧な説明、ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/26 14:58

No.5 回答者： ji6 回答日時： 2012/02/26 14:42

因数分解の公式をうまく使うと、展開が簡単になるかも！

　A^3-B^3=( )( )

この回答へのお礼

なるほど。一度因数分解をするのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/26 14:58

No.3 回答者： koujikuu 回答日時： 2012/02/26 12:42

a+b=x a-b=y と置き換えれば

(x+c)^3-(x-c)^3 -(y+c)^3+(y-c)^3 公式で展開できると思いますが。

この回答へのお礼

置き換えをして、公式で解けばよいのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/26 14:58

No.2 回答者： noname#150695 回答日時： 2012/02/26 12:41

b+cをd、b-cをeとおくかその二つを()でかこんで一つと見なし、aをＡ、dとeをＢと考えて(Ａ+Ｂ)^3-(Ａ-Ｂ)^3と(Ａ+Ｂ)^3+(Ａ-Ｂ)^3の解を導けば簡単にできたはずです

間違いだったらごめんなさい

この回答へのお礼

置き換えをすればよいのですね。ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/26 14:58

No.1 回答者： Parinne 回答日時： 2012/02/26 12:36

( ´・ω・｀)_「a^3+b^3=」　ヒントは以上です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/26 14:54