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No.1
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x=rcos(t), y=rsin(t)とおいて置換積分すると
D={(x,y)|x≧0, y≧0}⇔{(r,t)|0≦t≦π/2,0≦r}
dxdy=rdrdt
1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy=r/(1+r^2)^2 drdt
であるから
I=∬{x≧0, y≧0} 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy=∫[0→π/2] dt∫[0→∞] r/(1+r^2)^2 dr
=(π/2)(1/2)∫[0→∞] 2r/(1+r^2)^2 dr
=(π/4)[-1/(1+r^2)][0→∞]
=π/4
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