No.6ベストアンサー
- 回答日時:
底がeの対数log(x)は、指数関数e^xの逆関数として定義されています(eは1以外のどんな実数でもいいのですが、記号だけの問題ともいえるので、とりあえずeにしておきます)。
まず、実数の範囲で考えてみます。
y=e^xであるなら、x=log(y)なわけですが、log(-1)を考えるなら、-1=e^xとなるxは何かになります。実数で考えるなら、e^x>0ですから、解としてありません。
さらに、1=e^xはx=0で成り立ちます。では、両辺を2乗してみます。1^2=e^(2x)、ここまではいいでしょう。
1^2=(-1)^2から、(-1)^2=e^(2x)としても問題ありません。
では、その両辺のルートを『単純に』取ってみましょう。-1=e^xが成り立つことになります。これを満たす実数xはないのでした。さらに、そもそもx=0だったのでした。
これでは矛盾です。数学として成り立ちません。ならば、導出に問題があるはずです。
実数を2乗してルートを取ったとき、正負の両方が許される保証はあったでしょうか。ない例はすぐに思いつきます。
1=1, (-1)^2=1 ∴(-1)^2=1, しかし√{(-1)^2}=-1でもよいとすると、1=-1となり矛盾するから、√{(-1)^2}≠-1でなければならない。
ルート内に負数を許すのではなく、√(-1)のようなものを数として扱えるために、それをiと書いて虚数を実数bを使ってbiとすることにし(b>0なら√(-b)のようなものを扱うための虚数)、実数aと併せて複素数をa+biとしたのでした。
お示しの式変形の中では「log(-1)^2=2log(-1)」が、そう拡張していいかどうかを検討せずに使っています。2乗してルートを取ったときと、同様であるわけですね。
そこが間違いで、そうするためには、対数関数(ひいては指数関数)の計算規則を正しく拡張しておかなければならなかったわけです(その正しい結果の一つが、言及されておられるオイラーの定理)。
No.7
- 回答日時:
夕暮れの寝言を訂正。
> LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π
> LN{e^(iπ) } = iπ
>なのでしょうネ。
LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π≡0 (mod 2π)
LN{e^(iπ) } = iπ
No.5
- 回答日時:
< ANo.3
↓
>補足 複素数まで、範囲を拡大しての質問です。
↓
…だとすれば、
LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π
LN{e^(iπ) } = iπ
なのでしょうネ。
No.4
- 回答日時:
定義域を (0 でない) 複素数に拡張すること自体は構わないんだけど, 値域はどう設定しますか?
log の逆関数である指数関数 exp が周期 2iπ の周期関数であることは認識できていますよね?
この回答への補足
数学はトーシローなので、あまりよく理解できてないので、今回ふと疑問に思ってしまいました。周期はオイラーの定理を見れば、2πらしく思える程度です。
基本が、分かってませんので、分かりやすく解説していただけないでしょうか?
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