第三離心率、第三扁平率の幾何学的意味

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質問者：gadataharaua
質問日時：2014/02/16 04:50
回答数：1件

楕円の場合、
焦点同士の距離と長径との比の値を第一離心率という。
（「第一離心率」のメジャーな定義は、楕円上の任意の点から焦点までの距離と準線までの距離の比ですが、言葉の意味としては、焦点が中心からどれだけ離れているかを、長径のスケールで見たものだと思います。）
焦点同士の距離と短径との比の値を第二離心率という。

第三離心率もあるらしいのですが、幾何学的にどういう意味があるのでしょうか。
数式でなく、言葉で表現したいです。

楕円の場合、
長径と短径との差と長径との比の値を第一扁平率という。
（楕円が円に球に比べてどれくらい扁平か（つぶれているか）を表す値で、円では値が 0 である。つぶれるに従って値は 1 に近づく。）
長径と短径との差と短径との比の値を第二扁平率という。

第三扁平率もあるらしいのですが、幾何学的にどういう意味があるのでしょうか。
数式でなく、言葉で表現したいです。

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回答 (1件)

No.1ベストアンサー

回答者： stomachman
回答日時：2014/02/16 08:54

　第三離心率だの第三扁平率なんて知りませんでした。

　第×扁平率はどれも長径と短径の長さの差、第×離心率はどれも焦点同士の距離を、楕円のサイズを表す適当な「基準の長さ」で規格化し（て、相似な楕円ならどれも同じ値になるようにし）たもので、ただしその「基準の長さ」が
　第一××率では長径の長さ。
　第二××率では短径の長さ。
ところが第三××率になると、
　第三扁平率では、楕円を囲む最小の長方形の周の長さの半分。
　第三離心率では、楕円を囲む最小の長方形の対角線の長さ。
と、基準が違っている。

　扁平率では：　第一の「基準の長さ」 + 第二の「基準の長さ」= 第三の「基準の長さ」
　離心率では：　(第一の「基準の長さ」)^2 + (第二の「基準の長さ」)^2 = (第三の「基準の長さ」)^2
という関係を見ると、どうもここまでで話が完結してるっぽく、何か具体的な計算の便宜のために導入されたんだろうなと思われます。つまり、第n扁平率の逆数をフィボナッチ数列にしちゃえとか考えるのは、オイタが過ぎるということか。