特殊相対論とドップラー効果

物理学ド素人からの質問です。

特殊相対論の時間のズレを説明するのに、よく宇宙船の中で往復する光が使われますよね？
あれは宇宙船の進行方向の垂直方向に光が往復するのでわかりやすいんですが、進行方向に光が往復する場合はどう解釈すればいいんでしょうか。
私は、「ローレンツ変換に相対速度を代入さえすればいいのだから結果は同じだ」と思っているのですが、それだと図では説明できないようにも思えます。
また、これに際し、光のドップラー効果はどのように関係しているのでしょうか？
例えば、高速で遠ざかる宇宙船内の１秒毎になんらかの情報が送信されるとすると、「ドップラー効果によって波長が伸び、こちら側にとっては１秒以上の間隔で情報を得ることになる。だから宇宙船の時間は遅くなっている」というような考え方は合っているのでしょうか？

どなたかわかりやすくご教示願います。

No.3 ベストアンサー 回答者： ruehas 回答日時： 2004/05/09 20:36

こんにちは。

返信をありがとうございます。
補足を頂き、それなりに回答をしようとはしているのですが、書いている最中に、次ぎから次ぎへと「？」マークが頭に浮かんで来ます。これでは、質問者さんが納得できないのも道理ですよね。
どうやら、私は質問者さんの質問に答えているのではなく、単に「ドップラー効果」そのものを一生懸命説明していたみたいですねえ。
ですから、何と申しましょうか、＃２で書きました、

＞一応確認しておきますが、「λ」は、宇宙船が停止いているときに観測されるであろう値に対して、宇宙船の移動によって表れるドップラー効果のズレが補整された値です。

これは私の明らかな勘違いで、正しくは「宇宙船の移動によって起こるドップラー効果そのもの」ということなんです。これに就いては、再びごめんなさい。
最初から躓いてばかりで、いい加減な回答と思われても文句の言えない状態ですが（汗）、せっかく質問者さんから言い訳をするのチャンスを与えて頂きましたので、＃1、２に就いて、もう一度始めから整理をさせて下さい。

今回、順序としては、まず、「周波数：ν」の変化の方から考えます。＃２で使った式を少々変えさせ頂きまして、宇宙船の外の「観測者の時間：ｔ」に対し、宇宙船の中の時間を「伸びた時間：ｔ´」とします。

ｔ´＝ｔ／√｛１－（ｖ／ｃ）＾２｝

時間が間延びしてしまいますから、周波数は相対的に少なくなります。周波数が少なくなるということは波長が長くなるということですから、伸びた波長「偏移後の波長：λ´」が下記の式で求められます。

λ´＝ｃ／（ν／ｔ´）

そして「λ´」の値は「λ・ｔ´」と一致します。

＃２では、元々両辺に「ｔ´」を掛けたものですから、「ｔ´」で割らなくても、式を整理すれば、宇宙船が止まっている状態「λ＝ｃ／ν」に戻ってしまいます。つまり、光の成分そのものは全く変わらないのですが、時間がズレることによってそのように見えているということだと思います。「ｔ´」は宇宙船が動くことによって初めて発生する時間ですから、動いている最中は、くれぐれも式の両辺を「ｔ´」で割らないで下さいね。
音のドップラ－効果では、「音速：ｖ」が加速されて「ｖ´」となりますが、ここでは飽くまで「ｃ´」は存在しないということですから、時間の遅延による「周波数：ν」の変化量に従って、波長は伸び縮みすることになります。
最初からこのくらいの説明はしなければいけなかったのですが、回答者が何を説明しているのか自分で良く分かっていなかったということなものですから、それに就いては、何分ご勘弁下さい。
そして、「時間の遅延」と「波長のシフト」の基本的な関係として、ここまでは、恐らくこれで良いのではないかと思います。

但し、ところがですよ、ここから先は怒らないで聞いて下さいよ。ちょっと調べ直したのですが、どうやら上記の式、つまり私が一生懸命説明していたのは、実は宇宙船を真横から眺めているときに起こる現象だったらしいんです。そして、これは単に時間の遅延だけの問題ですから、光が宇宙船の進行方向に対して前後どちらに進んでも、結局、波長は伸びるんです。
では、前後の動き「遠ざかる・近付く」に就いてはどうなるかと申しますと、こちらはきちんと方向（あるいは角度）があり、観測者までの距離が長くなったり短くなったりしますので、「光の到達時間の変化」に対し、更には相対論的な「時間のズレ」を補整しなければならないということなのだそうです。ということで、鉛直移動による「偏移後の周波数：ν´」を求める式は下記のようになるということです。

ｔ´＝ｔ／√｛（１－（ｖ／ｃ）＾２）／（１＋（ｖ／ｃ）＾２）｝
（1）ν´＝ν／ｔ´

詳しくはＵＲＬでご確認下さい。
http://www.gem.hi-ho.ne.jp/katsu-san/audio/doppl …

それから、この場合、「波長：λ」の偏移には以下の定義があるのだそうです。波長の変化量を「Δλ」として、

Δλ＝λ´－λ
Δλ／λ＝ｖ／ｃ

ところが、ここには「近付く（あるいは遠ざかる）速度：ｖ」が、しっかり実数で入っているではありませんか。これでは、どうやっても「光の方程式：λ´＝ｃ／ν´」の条件を満たすことができません。「速度：ｖ」が、光速に十分近付いたときにはどうなるのかという式も見付けるには見付けたのですがのですが、私にはとても説明できそうにありません（これには、ちょっと参りました）。
一応そのサイトも載せておきます。
http://www.s-yamaga.jp/nanimono/uchu/kousei-5.htm

このように、鉛直方向における光のドップラー効果は、ローレンツ短縮によって理解される時間の遅延とは「別物」、と言って良いぐらい複雑でした。努力はしたのですが、どうやら、これは私の手には負えそうにないと思い知りました。面白そうな質問だと思って飛び付いたのですが、結局、しっかり恥を掻いてしまったようです　（＾ぅ＾；

ということなものですから、以上、間違いの訂正と、調べたことだけ報告させて頂きます。あまりお役に立ちませんでしたが、何かの参考にして下さいませ。

ＰＳ：この質問には、楽しく勉強させて頂きました。

この回答へのお礼

度々回答頂き、ありがとうございます。

これで完全に理解・・・とはいきませんでしたが、私の疑問の中核部分は、“光のドップラー効果”がよく「音のドップラー効果同様」というような説明を読むが、全く同じ扱いをしていいのか？というものでしたので、それがわかっただけで収穫がありました。
ruehasさんの誠意に感謝しております。

お礼日時：2004/05/17 08:06

No.2 回答者： ruehas 回答日時： 2004/05/08 11:35

こんにちは。

回答をお読み頂きありがとうございます。
最初に、回答者さんからご指摘を頂くまで全く気付かなかったことを正直に白状し、まず、お詫び致します。ごめんなさい。

＞これだと、「遠ざかる宇宙船の中で進行方向とは逆に光が放たれた場合」を考えると、光速が
＞１ｍ－１ｍ＝０ｍ
＞となって、つじつまの合わせようがなくなるんではないでしょうか？？？

そうなんです。仰る通り、これでは逆向きでプラス・マイナス・ゼロになってしまいますよね。これは、時間が停止することを意味します。それだけではありません、説明の都合上、宇宙船の速度と光の速度を同じにしてしまいましたが、宇宙船の速度が光速度に達した場合は、相対性理論では逆向きでなくとも時間は「０」にならなければいけないというのをうっかり忘れていました。私としたことが、大変申し訳ないことです（言い訳の余地なし）。
ただ、突込みではなく、正式に補足ということですので、回答者には、これは責任を持って訂正・回答する義務があります。ちょっと自信がないのですが、以下のように考えました。

相対性理論では、あらゆる物体の速度は光速を超えることはないということになっていますので、宇宙船の中で光が進んだ距離は、実際には下記の量で表されますよね。

√（１－（ｖ／ｃ）＾２
ｃ：光の速度
ｖ：宇宙船の速度

これを宇宙船の中の時間「ｔ」に換算しますと

ｔ＝1／√（１－（ｖ／ｃ）＾２

となります。
これは、宇宙船の中の１秒がこの値まで大きくなった、つまり遅れて伸びたということです。これを先の式に代入しますと。

λ・ｔ＝ｃ／（ν／ｔ）

ということになります。
一応確認しておきますが、「λ」は、宇宙船が停止いているときに観測されるであろう値に対して、宇宙船の移動によって表れるドップラー効果のズレが補整された値です。ですから、逆向きのときも、こちらに向かって来るドップラー効果によって短くなるはずの波長が、この比率に従って伸びる方向に引き伸ばされ、十分短くならないということで宜しいですよね。

この回答への補足

>まず、お詫び致します。ごめんなさい。

いえいえ、とんでもありません。
おかげで・・・と言ってはおかしいですが、これでニュートン物理学と相対論の区別が少し明確になった木がします。

さて・・・、
λ・ｔ＝ｃ／（ν／ｔ）
これなんですが、両辺をｔで割ると、結局
λ＝ｃ／ν
になってしまう気が・・・。
いかがでしょう？

補足日時：2004/05/08 22:31

No.1 回答者： ruehas 回答日時： 2004/05/05 08:51

こんにちは。

特殊相対性理論の時間の遅延は、光の「移動距離」を使っても、光の「波長」を使っても、全く同じことだと思います。
光は下記のような成分を持っていますよね。

λ＝ｃ／ν
λ：波長
ｃ：光速度
ν：周波数

秒速１ｍで遠ざかる宇宙船の中で、進行方向に対して放たれる光の速度も仮に秒速１ｍとします。宇宙船の外、後ろから見ているひとにとっては、光は１秒間に「1ｍ+1ｍ＝２ｍ」を進みますから、その波長の長さは倍に伸びたことになります。波長を倍の長さにするためには、式の両辺を二倍すれば良いですね。

２λ＝２ｃ／ν

ですが、「光速度不変の原理」に従うならば、光の速度「ｃ」が２倍になることはありません。従って、変化するのは周波数「ν」の方で、その値は２分の１ということになります。

２λ＝ｃ／（ν／２）

このように、外から見ているひとにとっては、宇宙船の中の周波数が半分になってしまいます。１秒間に１０Ｈｚのものが５Ｈｚしか見えないのですから、時間は遅れて感じられるのではないでしょうか。

この回答への補足

早速の回答、ありがとうございます。
「なるほど！シンプルでわかりやすい」と思ったのですが・・・。
これだと、「遠ざかる宇宙船の中で進行方向とは逆に光が放たれた場合」を考えると、光速が
１ｍ－１ｍ＝０ｍ
となって、つじつまの合わせようがなくなるんではないでしょうか？？？

補足日時：2004/05/08 03:29