確率： 1/5を1回と1/10を2回どちらが有利？

当たる確率が1/5のくじを1回ひくのと、
当たる確率が1/10のくじを2回ひくのでは、
1/5を1回ひいたほうが有利だ。

という本を読みました。（記憶があいまいです。間違っていたらごめんなさい）

確率のこと、全くわからないのですが、素人的にはどっちも同じ確立に見えるのですが、なぜ1/5を1回のほうが当たる確率が高くなるのか、考え方を教えて頂けませんでしょうか。

（または、私の記憶が間違っている場合は、それも教えて頂けますと幸いです。）

あたまの悪い質問でごめんなさい。宜しくお願いします。

No.1 回答者： omi3_ 回答日時： 2014/03/29 01:09

1/10のくじを2回 の方が有利だと思います。

1回目で当たる確率 1/10
2回目で当たる確率 1/9
どちらかでも当たる確率は、 0.211…
となり、 1/5 の 0.2 より多くなります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。う～ん、難しいです(>_<)

お礼日時：2014/03/29 02:36

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/29 01:21

なにをもって「有利」とする?

この回答への補足

くじが当たること＝有利として書きました。分かりづらくてすみません。

本を読み返してみました。

「例えば公営住宅の申し込みか何かで、片方は当選確率が1/5だけど1回しかチャンスがなく、他方では当選確率は1/10だけどチャンスが2回ある、ということがあったとします。どちらを選ぶかは、確率の考え方を知らない人にとっては、単に、好き嫌いの問題です。しかし、確率計算のできる人にとっては、少しの差ではあるけれども1/5のほうを選ぶほうが当選率は有利であることがわかります」という本の中の、「有利」が頭に残っていたため使いました。
大村平著　「確率のはなし」日科技連　初版1968年を改定した古い本でした。

補足日時：2014/03/29 02:42

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/29 01:25

当たる確率が 1/10 のくじを 2回引き、少なくとも１回 当たる確率は

1 から 2回とも外れる確率を引いて

1 － （9/10）^2 ＝ 19/100

となり、1/5 より若干 低くなり、
その意味では 1/5 を 1回 引いた方が有利となります

ただ、1/10 のくじを 2回 引くと、2回とも当たることもあり、
その分、ワクワク 感が大きいですよね
だって、当たりで 1万円貰えるとすると、2万円貰った方が
倍嬉しいでしょう

2回 当たることも考えて、当たりの出る期待値を計算すると

2 ×（1/10）^2 ＋ 1×（1/10）（9/10）＋1×（9/10）（1/10）

＝ 2/100　＋ 2×9/100 ＝ 20/100 ＝ 1/5

と 1/5 を 1回　引くとの同じことになります

まぁ、そりゃそうですよね

この回答へのお礼

ありがとうございます。「1 から 2回とも外れる確率を引いて1 － （9/10）^2 ＝ 19/100」を理解することが出来ませんでした。切ないです。
2万円もらったほうが倍嬉しいのは心から理解できました！！

お礼日時：2014/03/29 02:45

No.4 回答者： tlover 回答日時： 2014/03/29 01:31

1/10のくじを2回引く場合、一回目に当たる確率は、1/10、これはわかりますよね。

問題は、二回目に当たる確率です。
「二回目に当たる」ということは、「一回目ははずれる」ということです。
「一回目にはずれる確率」は、9/10です。
そして、二回目に当たる確率は1/10なので（引いたくじを戻す場合）、
「2回引いて二回目に当たる確率」は、
9/10 × 1/10 = 9/100
になります。
（引いたくじを戻さないなら、二回目に当たる確率は 1/9 なので、
　9/10 × 1/9 = 9/90 = 1/10）

なので、一回目か二回目かどちらかで当たる確率は、
一回目に当たる確率と二回目に当たる確率を足して、
1/10 ＋ 9/100 ＝ 19/100 < 1/5 = 20/100
ですから、1/5 を一回引く方が 1/100 だけ有利ですね。
ただし、一回目に引いたくじを戻さないなら同じですね。

また、二回とも当たると2倍の得があるなら、二回とも当たる確率、
1/10 × 1/10 = 1/100 （引いたくじを戻す場合）
も足して 20/100 = 1/5 になりますから、同じということになります。

この回答へのお礼

>1/10のくじを2回引く場合、一回目に当たる確率は、1/10、これはわかりますよね。

はい、わかります！

>「二回目に当たる」ということは、「一回目ははずれる」ということです。

この1行で、？？と思いました。1回目も2回目も当ってもいいのではと思っていたからです。

それはきっと、「二回とも当たると2倍の得があるなら、二回とも当たる確率、1/10 × 1/10 = 1/100 （引いたくじを戻す場合）も足して 20/100 = 1/5 になりますから、同じということになります。」という分部でご説明いただいたところだと思います。たぶん私はこのように考えて、なぜ同じじゃないのだ？と思ったのだと思います。（頭がこんがらがってはっきりしませんが）

たぶん私は、日本語の理解を先にしたほうが良いのかもと思ってしまいました。ありがとうございます。

お礼日時：2014/03/29 02:50

No.5 回答者： masamasa74 回答日時： 2014/03/29 01:33

1/5だと確率は20％になります。

1/10だと確率は10％です。

ここまではわかると思います。
肝心なのは1/10の2回目の考え方です。

10個のボールの内、1個が当たりです。
1回目にボールを1個取ってハズレだったので、残りは9個残っている事になります。

9個のボールに対し、当たりは1個。
確率は1÷9で11.1111・・・％となります。

3回目1÷8で12.5％
4回目1÷7で14.285・・・％
5回目1÷6で16.666・・・％
6回目1÷5で20％

となります。

しかし、問題が「当たる確率が1/10のくじを、2個同時に引いていく」だと答えは変わってきます。

当たる確率が1/5のくじを1回につき1個ひくのと、
当たる確率が1/10のくじを1回につき2個ひくのでは

どちらも同じ確率になります。

この回答へのお礼

>1/10だと確率は10％です。

はい、これで、10%を2回ひいたら合計20%になると安易に考えて、1/5と何の変わりがあるのかわかりませんでした。

でも、

>1回目にボールを1個取ってハズレだったので、残りは9個残っている事になります。

↑この考え方を理解すると、本が有利だと言っていた意味がわかるような気がしました。これからもう一度考えてみます。ありがとうございます。

お礼日時：2014/03/29 02:57

No.6 回答者： gomagoma427 回答日時： 2014/03/29 01:35

当たる確率が５分の１というのを、便宜的に百分の２０とします。

1/5 = 20/100

ですので、数字を変えただけで同じことです。比べ安いのでこうしておきます。

次に当たる確率が１０分の１のくじを２回引く場合を考えます。当たりは複数あるという前提で考えて行きます。
起こりうる場合としては
１．２回とも当たりをひく
２．１回目は当たりだが、２回目はハズレ
３．１回目はハズレだが、１回目は当たり

１の場合、一回目の当たりの確率１/10と、２回目の当たりの確率１/10を足すのではなくかけて、
1/10 　×　1/10　＝　1/100
となります。

２の場合、１回目の当たりの確率1/10と、２回目のハズレの確率9/10をかけて、
1/10　×　9/10　＝　9/100

となります。

３の場合も同様に　9/100
となります。

３つの場合は別々に起こりますので、全てを足して　19/100　となりますが、これは
1/5 = 20/100　より若干小さいですね。


ところでこの回答は若干嘘が入っています。
確率を求めるときに、掛け算を使っていますよね？　１回目に引くクジの確率と、２回目に引くクジの確率をかけています。この掛け算は、ある行動を２回連続でするとき、１回目の行動が２回目の行動に影響しないときには、ふたつの行動の結果の確率は、１回目と２回目のそれぞれの確率の掛け算になるという考え方からきています。

おそらく質問者様が疑問に思ったのは、なぜ単純に「足し算」をすれば同じ数字になるのに、そうではないのだろうか？　ということだと思います。
その疑問の答えとして、足すのではなく「かける」のだという考え方が重要になってきます。

ですが、本来クジには本数があります。さきほど１０分の１の確率を２回というのを考えてみると、例としては１００本のクジの中に１０本の当たりがあります。

このクジを二回ひくとき、１度目に当たりを引いていたら、２度目に当たりを引く場合は、また１００分の１０を考えるわけではなく、９９本のクジから９本の当たりをひかなければなりません。
したがって、厳密には上の１の計算は

１0/100　×　9/99　= 1/110

となります。このやり方で計算すると、１００本中１０本の当たりのあるクジを２回ひいて少なくともひとつ当たりのでる確率は　21/110 となり、一方で
1/5 = 22/110

ですので、この場合もやはり５分の１の確率のクジのほうが有利になります。
１００本を１０００本、１００００本と増やしていっても、同じように５分の１の確率のクジのほうが当たりやすいです。

この回答へのお礼

とても丁寧なご回答をありがとうございます。

>その疑問の答えとして、足すのではなく「かける」のだという考え方が重要になってきます。

はい、私が考えられなかった考え方は、「かける」考え方でした。

21/110 と、22/110の考え方を学ばないといけないのだとわかりました。（いまはさっぱりわかりませんが・・・）

理解したいのに、はがゆいです。

お礼日時：2014/03/29 03:02

No.7 回答者： etranger-t 回答日時： 2014/03/29 01:40

１回ひいても２回ひいても当たる確率が変わらないのであれば、1/10のくじを２回ひいても確率は1/10に変わりがないので、1/5のくじを１回ひいた方が有利。

1/10のくじを１回ひいて、２回目の確率が1/9になったとしても、1/5には及ばないので1/5のくじを１回ひいた方が有利であることに違いはない。

この回答へのお礼

>1/10のくじを１回ひいて、２回目の確率が1/9になったとしても、1/5には及ばないので1/5のくじを１回ひいた方が有利であることに違いはない

かけ算も足し算もでてこなくて、文章だけでおお！と感じることができたご回答でした。ありがとうございます！

お礼日時：2014/03/29 03:05

No.8 回答者： masamasa74 回答日時： 2014/03/29 02:28

No.5です。

回答した後で気付きました。
『数学』のカテゴリでしたね。

下の回答は『実際のくじ』としての考え方でした。

数学的な考えは他に回答が出ていますので、書き込みは避けます。
失礼しました。

この回答へのお礼

５さん、ありがとうございます。

実際のくじとしての考え方と、数学的な考え方の違いが、いまの私には理解できていないので、ご回答に感謝しています。ありがとうございます。

お礼日時：2014/03/29 03:06

No.9 回答者： varmo#1 回答日時： 2014/03/29 03:39

1/10のくじ2回の場合、1回目の確率は1/10、2回目の確率は1/9です。

合わせて確率、2/19です。もしくは、2/20です。1/5のくじ1回は、2/10の確率です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
分数の足し算、「合わせて確率、2/19」という分数の足し算の考え方ができなくて悩みました(>_<)あ～私ほんとに頭悪いです。

お礼日時：2014/04/01 04:55

No.10 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/03/29 04:48

　それだと、いろいろな場合に分かれそうですね。

　まず、一つでもくじに当たりさえすればいいと考えてみましょう。この場合、くじがちょうどの数の場合と（1/5なら5本、1/10なら10本）、事実上無数にある場合に分かれます（それぞれ6本と11本では、はたまた、と考え出すとややこしいので、そう単純化しておく）。

１．当たりさえすればいい。
１－１．ちょうどの数
　1/5のくじに当たる確率は、当然1/5。
　1/10のくじの確率はまず外れる確率を考える。くじを引くごとにくじは減るから、１回目：9/10、２回目：8/9で、(9/10)×(8/9)＝8/10＝4/5。なので、当たる確率は１－4/5＝1。→1/5＝1/5で同じ。

　答1：確率1/5のくじでも、確率1/10のくじでも同じ。

１－２．くじは無数にある。
　1/5のくじに当たる確率は、当然1/5。
　1/10のほうは、やはり外れる確率を考える。今度は引いても引いてもくじの数は減らないから、何回目でも当たる確率は1/10。外れの確率は(9/10)×(9/10)＝81/100で、当たる確率は1－81/100＝19/100＝0.95/5。1/5＞0.95/5と差が出る。

　答2：確率1/5のくじのほうが有利

　しかし、当たる毎に賞金が出て、合計でいくらもらえるかを考えると、確率1/10のくじは2回当たるチャンスがある。賞金は当たる毎に100円としてみます（宝くじみたいにいろいろだと計算が無用に複雑になる）。これは『期待値』（1回ごとに「当たる確率×賞金」で、くじを全部引いたときの総和）というもので比べる。
　これも、くじがちょうどの数と、無数にある場合に分かれる。

２．当たる毎に100円
２－１．ちょうどの数
　確率1/5のくじなら、1/5×100＝20円。
　確率1/10のくじでは、1回目：1/10×100＝10円、2回目：1/9×100＝11＋1/9、合計：21＋1/9円。こちらのほうが金額が大きい。

　答3：確率1/10のくじのほうが有利。

２－２．くじは無数にある。
　1/5のくじなら、1/5×100＝20円。
　確率1/10のくじなら、何度目でも1/10×100＝10円で、2回引けるから10×2＝20円。同じになる。

　答4：確率1/5のくじでも、確率1/10のくじでも同じ。

　以上のようになります。確率1/5のくじのほうが有利になるのは、上記で１－２（答2）のケースだけです。

　ですので、以前にご覧になった本では「くじがたくさんある場合、当たる確率1/10のくじを2回引くより、当たる確率1/5のくじを1回引くほが有利」とあったのでしょう。

P.S.

　上記でくじを無数とか、賞金を一律100円とかにしましたが、もっといろいろな条件を考えても同じだと考えてOKです。

この回答へのお礼

あらゆる考え方の御解説、ありがとうございます！
あまり大して考えずに質問をかきこんだのですが、曖昧な文章からこれだけの可能性を考える術があると理解できることが出来ました！

お礼日時：2014/04/01 04:58