No.18
- 回答日時:
「それぞれの賞が当たる確率は1/4」を文字どおりに解釈すれば、たとえば、「4つの賞がまとめてもらえるくじが1/4入っていて、ハズレのくじが3/4」ということもありうる。
あるいは、「A賞とB賞がまとめてもらえるくじが1/4、C賞がもらえるくじが1/4、D賞がもらえるくじが1/4、ハズレが1/4」というのかもしれない。そうすると、ご質問の確率を計算するには、4種類の賞のアタリ同士の相関係数が分かっていないとどうにもなりません。一方、「ハズレはなく、4つの賞のうちどれか1つだけが当たり、どれが当たるかは等確率」と解釈するのであれば(どの回答者もそう読んでいるようですが)、一般に「4種類のものを重複を許して6個並べた時に4種類が全部現れる場合の数」を数えれば良い。
考え方は「4種類のものを6個並べるやりかた 4^6通りのうちには、3種類以下のものしか現れないやりかたも含まれているから、それらを除く」ということ。正確に言えば、
4種類のものを6個並べるやりかたから
4種類のものから3種類を選んでそれらを6個並べるやりかたから
4種類のものから2種類を選んでそれらを6個並べるやりかたから
4種類のものから1種類を選んでそれを6個並べるやりかた
をひいたもの
をひいたもの
をひいたもの
です。
一般に、
「n種類のものを重複を許してm個並べる場合の数」をS(n,m)、
「n種類のものを重複を許してm個並べて、n種類が全部現れる場合の数」をT(n,m)
とするとご質問の確率pは
p = T(4,6)/S(4,6)
S(n,m) = n^m
T(n,m) = Σ{r=0~n-1} ( ((-1)^r) (nCr) ((n-r)^m) )
ご質問の場合n=4, m=6なので
S(4,6) = 4^6 = 4096
T(4,6) = 4^6 - 4×(3^6) + 6×(2^6) - 4×(1^6) = 1560
p = 1560/4096 = 195/512
で、級数を使わずに計算できないかと考えてみたが、どうも不首尾です。
No.17
- 回答日時:
私は、#14のような一般化した式の方が好きです。
というか、応用性があると思います。解決していなかった問題、
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13231028.html
の解決の糸口となりましたよ。
今、やっていたところです。
2.990225日となりました。
これもすっきりしました。
No.14
- 回答日時:
m回引いてn種類の賞を貰う確率をP(m、n)とすると
P(m、1)=(1/4)^(m-1)
P(m, n)=P(m-1, n-1)・{4-(n-1)}/4 + P(m-1, n)・n/4
これくらいだと、P(6,4)の計算は手計算数分で出来ますね。
195/512
でpythonの結果と一致しました。
No.11
- 回答日時:
ありものがたりさんへ、
数え上げではなく、理論値計算もしましたよ。
あの、リンク先サイトの式です。
自分で導出できなかったのは残念でしたが・・・。
でも、理論値を考える前に、当たり付けしたり、数字を振ったりして傾向を確認するアプローチは、私は否定しません。
問題解決の姿勢が、学者か企業人かの違いですかね(笑)。
No.10
- 回答日時:
理論値、出ました。
6回までにコンプリートする確率は、
0.3808594
ちなみに、10回までにコンプリートする確率は、
0.7806015
Rで第2種スターリング数を計算するライブラリは、multicool でした。
シミュレーション結果のヒストグラムに理論値を重ねてみた図を添付しておきます。まあまあの精度だったです。
あーすっきりした。
No.9
- 回答日時:
A、B、C、Dが排他の場合、4面のサイコロを6個投げるのと同じはず。
総当たりで数えてみた。言語python
import numpy as np
c =0
for i in range(4**6):
p = np.base_repr(i,4)
if len(p)<6:
p = "0" + p
s = set(p)
if len(s) == 4:
c += 1
print(c)
1560個なので、確率は
1560/6^4=195/512≒0.3809
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