確率、数学

下記の確率について教えて頂けないでしょうか？

くじにA,B,C,D賞があり、それぞれの賞が当たる確率は1/4とする。
6回のくじ引きをすることで、A,B,C,D賞の全てが1回以上当たる確率はいくつになるでしょうか？
なお、6回のくじ引きの際、A,B,C,Dの当たる確率は変わらないものと仮定する。

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2022/11/25 16:37

全部のパターンは、４Ｘ４Ｘ４Ｘ４Ｘ４Ｘ４＝4096

成立パターンは、ABCD作るのに4つどれでもOＫ、
残りの3つならOK、残りの２つから、残りの1つ限定
４Ｘ３Ｘ２Ｘ１の制約はあるが、後は自由
４Ｘ４　パターンがあって　かけ合わせると
４Ｘ3Ｘ2Ｘ１Ｘ16＝384
3Ｘ2Ｘ１／４Ｘ４Ｘ４＝3／16≒0.2
どうでしょうか？

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。お時間頂きました。

お礼日時：2022/11/28 01:59

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/25 16:45

福引とかだと複数の賞が一緒に当たるということは無いけど

これは有り？

有りなら、Aがあたる確率はAが当たらない確率の余事象なので

Aがあたる確率 = 1 - (3/4)^6 = 3367/4096

A, B, C, D 全て当たるのは
(3367/4096)^4 = 128520517482721/281474976710656
≒0.457

無しなら、確率 1/4 の意味を詳しく聞きたい。

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。
実際の福引ではあり得ませんが、今回は有りと仮定させてください。
当確率(1/4)で当たるガチャなどを設問にしたら良かったですね。

お礼日時：2022/11/28 01:52

No.3 回答者： ほい3 回答日時： 2022/11/25 16:52

No1です。

5回目6回目で不足の賞が出る場合を
無視していてダメでいた。
未完成です。

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。お時間頂きました。

お礼日時：2022/11/28 01:48

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/25 20:33

それぞれ1/4で４通りということは、どれかは必ず出るということですか？

あと、くじは無尽蔵にある中から引くのですか？

そうだとすると、クーポンコレクター問題と同じですよね。日本ではコンプガチャ問題とも言います。普通はコンプリートするまでに必要な抽選回数の期待値問題ですけど。分布は幾何分布の重畳。

これをコンピュータシミュレーションすると、
6回目までにコンプリートする確率は、
0.3807

ちなみに、
10回目までにコンプリートする確率は、
0.7816

理論式は考え中です。

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。
実際の福引ではあり得ませんが、今回は無尽蔵にある中から引くものと仮定させてください。
当確率(1/4)で排出されるガチャなどを設問にしたら良かったですね。
すいません。

お礼日時：2022/11/28 01:51

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/25 20:43

１回くじを引くと、A,B,C,Dのどれかは当たるわけですよね？

６回中に4つの賞が皆出る出方というと、
同じ賞の出る回数が1,1,1,3回になるパターンと
1,1,2,2回になるパターンが考えられますね。

1,1,1,3回パターンは、
　3回出る賞の選び方が 4P1 通り、
　それを１列に並べる並べ方が (6C3)(3！) 通りなので、
全部で (4P1)(6C3)(3！) 通り。

1,1,2,2回パターンは、
　2回出る賞の選び方が 4P2 通り、
　それを１列に並べる並べ方が (6C2)(4C2)(2！) 通りなので、
全部で (4P2)(6C2)(4C2)(2！) 通り。

どちらかのパターンが起こる確率は、
{ (4P1)(6C3)(3！) + (4P2)(6C2)(4C2)(2！) }/4^6
= 165/256.

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。お時間頂きました。

お礼日時：2022/11/28 01:59

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/25 21:00

シミュレーションの精度を向上しました。

6回では、
0.38143
10回では、
0.77915

ちなみに、コンプリートするまでの抽選回数のヒストグラムは添付図のとおり。

この回答へのお礼

こちらPythonによるシミュレーションですかね？
ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/11/28 01:59

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/25 21:35

クーポンコレクター問題。

難問ですよ。これは。
でも、面白かったです。

https://peng225.hatenablog.com/entry/2019/03/15/ …

ここのグラフを見ると、累積確率は、シミュレーションと合っていそう。k=4のグラフを横軸6まで累積すればよいです。

ここにはPythonのスクリプトが紹介してあります。

私はRしか扱えないので、今、「第2種スターリング数」のライブラリを探しているところ。
Python使いの方がみえれば、すぐにでも計算して確認が可能です。

ところで、どこで出題された問題なんでしょうか。こんな難問。

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。
pythonのスクリプトのご紹介ありがとうございました。

お礼日時：2022/11/28 01:58

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/25 21:59

実験するより計算しろと言いたい。

計算機科学じゃなく、数学なんだから。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/25 22:00

A、B、C、Dが排他の場合、4面のサイコロを6個投げるのと同じはず。

総当たりで数えてみた。言語python

import numpy as np

c =0
for i in range(4**6):
　p = np.base_repr(i,4)
　if len(p)<6:
　　p = "0" + p
　s = set(p)
　if len(s) == 4:
　　c += 1
print(c)

1560個なので、確率は

1560/6^4=195/512≒0.3809

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。
pythonで計算できるのですね。勉強になりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2022/11/28 01:55

No.10 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/25 22:12

理論値、出ました。

6回までにコンプリートする確率は、
0.3808594

ちなみに、10回までにコンプリートする確率は、
0.7806015


Rで第2種スターリング数を計算するライブラリは、multicool でした。

シミュレーション結果のヒストグラムに理論値を重ねてみた図を添付しておきます。まあまあの精度だったです。

あーすっきりした。