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ナイキスト周波数に関する質問です。

本に
「ナイキスト周波数は、最少標本化周波数である。」
ネットに
「ナイキスト周波数は、サンプリング周波数の1/2である。」
と書かれていました。

どちらも、成り立つのであるなら、
ナイキスト周波数が、原信号の帯域幅の2倍の周波数であるので、
標本化をする際、サンプリング周波数は帯域幅の4倍からしか取れなという事になるのですか?

そんなはずは、ないと思うのですがどのように考えたら良いのでしょうか?

よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

>「ナイキスト周波数は、最少標本化周波数である。


これはナイキストレート(Nyquist rate)

>「ナイキスト周波数は、サンプリング周波数の1/2である。」
こちらがナイキスト周波数(Nyquist frequency)

しかし、ナイキスト周波数=ナイキストレートと書いているところもあるそうです。
詳しくは参考URL

参考URL:http://ksng.way-nifty.com/blog/2009/09/post-7973 …
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

やはり、違う物なのですね。
私の持っている本では、ナイキストレートのことをナイキスト周波数と書いてしまっているようですね。

きちんと見分けられるよう気を付けます。
ありがとうございました。

お礼日時:2014/04/03 13:06

>「ナイキスト周波数は、最少標本化周波数である。


…なる定義は、誤解され易そう。

参考 URL
>サンプリング定理 2
  ↓ あたりが参考になりませんか?

通例は、標本化周波数 (fs) の半分 (fs/2) がナイキスト周波数。
参考 URL 図 3 のようなスペクトルのダブリを生じさせないような、ベースバンドの最高周波数を指すのでしょう。

こちらの定義なら、まぎれ難そうですネ。
    ↓
>「ナイキスト周波数は、サンプリング周波数の1/2である。」


  

参考URL:http://www9.ocn.ne.jp/~hkato111/sample2/sample2. …
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
サンプリング定理を含めて理解を深めることが出来ました。

お礼日時:2014/04/03 13:17

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Qナイキスト周波数(間隔) 標本化定理

複数の本やサイトを用いてナイキスト周波数や標本化定理,サンプリング周波数について,学んでいるものです.
しかし混乱しました.

ナイキスト間隔とは,元の信号を再現出来る最高の間隔でこれ以上の間隔でサンプリング(標本化)すると折り返し歪が生じるというような間隔,逆に言うと,これより小さなサンプリング間隔でサンプリングすれば良いと本に書いてありました.

また,ナイキスト間隔の逆数はナイキスト周波数であり,
サンプリング間隔の逆数はサンプリング周波数であるので,
サンプリング周波数はナイキスト周波数より大きければ良い,と書いてあるのですが,ここが分けわかりません.

Example

周期T=2の波をサンプリング間隔Ts=0.5でサンプリングした場合
周期の周波数はf=0.5Hz,サンプリング周波数はfs=2Hz この時,

ナイキスト周波数はfn=1Hz,ナイキスト間隔は Tn=1なのでしょうか?
だとすると,ナイキスト周波数以上でサンプリングすればいいという記述はどういった意味なのでしょうか? 

サンプリング定理によると,(ローパスフィルタなどを用いずに)折り返し歪を防ぐには,
常にナイキスト周波数の2倍以上の周波数が求められるのだから,
サンプリング周波数はナイキスト周波数の2倍以上なら良いと書くべきではないでしょうか?
しかし自分でも感じるのですが,この結論もまた謎です^^;

複数の本やサイトを用いてナイキスト周波数や標本化定理,サンプリング周波数について,学んでいるものです.
しかし混乱しました.

ナイキスト間隔とは,元の信号を再現出来る最高の間隔でこれ以上の間隔でサンプリング(標本化)すると折り返し歪が生じるというような間隔,逆に言うと,これより小さなサンプリング間隔でサンプリングすれば良いと本に書いてありました.

また,ナイキスト間隔の逆数はナイキスト周波数であり,
サンプリング間隔の逆数はサンプリング周波数であるので,
サンプリング周波数はナ...続きを読む

Aベストアンサー

「元の信号」はいろんな周波数の成分を含んでいます。「元の信号」が含む周波数成分のうちで最も高い周波数を持つ成分の周波数(略して「最高周波数」と言ったりしますが)をωとするとき、2ωがナイキスト周波数であり、これが、サンプリングによって「元の信号」の情報を失わない(∴「元の信号を再現できる」)ために必要な最低限のサンプリング周波数である、ということです。

 「元の信号」が周期的かどうかは、ナイキスト周波数の話とは関係ありません。
 「元の信号」が周期的でない場合、あらゆる周波数の成分が含まれうる。一方、「元の信号」が周期Tを持つ場合には、「元の信号」が含む成分の周波数は(n/T) (n=0,1,2,…)に限られ、半端な周波数の成分は含まれない。単にそれだけの違いに過ぎません。

 で、おそらくご質問は、「元の信号」の周期がいくらかという話と、「元の信号」の含まれる最高周波数はいくらか、という話を混同なさっているんでしょう。 
 それは「元の信号」に n=2以上の成分が含まれない(だから「元の信号」は周期Tのサインカーブと直流成分の和である)と仮定したことになります。でも、そんな条件はどこにもないはず。

 まとめますと、ナイキスト周波数は「元の信号」の周期とは全く関係なく、ただ、「元の信号」が含む最高周波数によって決まるんです。
 で、「元の信号」が含む最高周波数はいくらか、というのは、その「元の信号」を作り出した信号源の性質に依る。たとえば、「元の信号」が、ある周波数より高い成分が通過できないようなフィルター(ローパスフィルター)を通して得たものであれば、通過できる最高周波数によってナイキスト周波数が決まる。


 なお、

> (ローパスフィルタなどを用いずに)折り返し歪を防ぐには

とお書きですが、もし「元の信号」にローパスフィルタを作用させていくらかでも信号に変化が生じさせてしまったならば、その後では、もはやどんなに細かくサンプリングしても「元の信号」は再現不可能になります。
 そうじゃなくて、「元の信号」が生じるまでの過程で(例えば、観測している物理現象の特性だとか、センサーの応答特性だとか、レンズのピンぼけだとか、アンプのゲイン特性だとかによって)ある周波数より高い周波数の成分が含まれていない(正確には、ノイズに比べて無視できる程度の振幅しかない)という状況が生じる。それに合わせてサンプリング周波数を設計するんです。

「元の信号」はいろんな周波数の成分を含んでいます。「元の信号」が含む周波数成分のうちで最も高い周波数を持つ成分の周波数(略して「最高周波数」と言ったりしますが)をωとするとき、2ωがナイキスト周波数であり、これが、サンプリングによって「元の信号」の情報を失わない(∴「元の信号を再現できる」)ために必要な最低限のサンプリング周波数である、ということです。

 「元の信号」が周期的かどうかは、ナイキスト周波数の話とは関係ありません。
 「元の信号」が周期的でない場合、あらゆる周波数の...続きを読む

Q標本化定理をわかりやすく教えて!

”あるアナログ的な信号をデジタルデータにサンプリングする場合、原信号に含まれる周波数成分をすべて正確にサンプリングするためには、原周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要となる。これを標本化定理という。”

と言うことですが、サンプリングした時点で途中の情報を捨てているのに何故完全に復元できるのか、納得できません。

出来れば絵付きでわかりやすく説明してください!お願いします。

Aベストアンサー

sin,cos もちゃんと習ったし、フーリエ展開ってのもわかった(つもり :-)、
だけど、周波数て結局何なんだ?、標本化定理の式は何を意味して
いるんだろう? というのが貴方の質問かと思います。
(小生も、理系の大学を出たものの、下記本に出会うまでは
 ちいとも理解していないことに気がついたのです。)

講談社 ブルーバックス
ディジタル・オーディオの謎を解く  天外伺朗 著
ISBN4-06 13268005 C0255 P600E

を読めば、目から鱗がとれること、請け合いです!!

残念ながら、今現在はAmazon.co.jpでもその他大手のWeb本屋でも
手に入らない可能性が大です。

ちなみに、著者名:天外伺朗(てんげ・しろう) はAIBOでおなじみのソニーの
土井さん(らしい)です。 本当に理解している人だから、こういう
素晴らしい説明が書けるものだと感心せずにはいられません。

貴方がもし、教師でしたらどんなことをしても手にいれるべき本だと
おもいます。(この本では、ほかにCDに欠かせないクロスインタリーブ
符号の原理もあっとおどろくほど明快に記述されています。)

---------------
以下、小生なりに上記バイブルの内容をまとめてみたものを投稿して
おきます。( 周波数、標本化の説明のところだけ)

(具体的説明の為、音の周波数とします。また、図がずれますので
 固定フォントにしてみてください)
さて、電波にせよ音にせよ、自然界にある波動は時間の周期関数です。
ですからその意味での周波数が定義できます。しかしこの時の周期をもって
描かれる曲線(F(t))は、いわゆるsin/con curveではない、複雑な任意の
形状をした曲線です。 そこで、人間はそういう形は複雑でも周期をもって
いる曲線をなんとかもっと分析しやすくする方法はないものかと考えた
のです。 で、フーリエさんという人が熱の伝導を研究しているときに
熱の分布の周期関数ってのはsin/conの基本周期とその倍数周期の足し合わせ
になることを証明しちゃったわけです。 つまり、周期関数ってのは
(実は周期関数でなくても任意の関数でいいのですが)sin/conの足し合わせ
で表せるということです。 これは、3次元空間の座標にたとえると、ある
任意の座標を決めるにはx,y,zという直交する座標軸を決めて、その各座標値
で示せるというのと同じです。 ちょっと違うのは周期関数の場合は座標軸に
あたるのが、sin/cos関数という関数ということです。しかも無限にある。

さて、ここで周波数のもうひとつの意味がおわかりになると思います。
そう、いわゆる周波数スペクトル(分析)の周波数というのは、こうした
sin/cos 関数の基本周期・倍周期を指しているのです。基本周期は分析対象
となる元の周期関数の周期をとります。

そしてこれで、”帯域制限”の意味もおわかりになると思います。
上記で、”無限”にあるsin/cos関数といいましたが、音の場合で
いうと20KHz(sin/cos の倍周波数)で止めても、もとの周期関数
(音)の形にはちいとも影響がないと仮定するというか、してしまう
わけです。

そうそう、あと、sin/cosと2種類の関数の足し合わせですが、実は
これはsinかcosかどっちかの関数1種類にしてしまいます。

 sin(a+b) = cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)  とかの公式で
 a*cos(x) + b*sin(x) = c*sin(x+d) c= sqr(a*2+b*2), d=tan(b/a)

てな具合に変形できます。 

FFT(高速フーリエ変換装置)なる機械で表示される周波数スペクトル
の棒の長さは、実はこの”c”なる定数なのです。

つまり、任意の音をFFTにかけて、その周波数スペクトルをみると
下図のように表示されるのです。 

うーん、ここで、元の音のなめらかな曲線図を書けないのがつらいですが、
どうか想像してください。 そのなめらかな周期曲線が周波数(もう、
間違わないでください、ここでいう周波数とはsin/cosという直交関数の
きれいなcurveの周波数のことです)の含み具合が表示されるということです。
 
逆に言うと、下図のとおりの割合でsin/cos curveを足し合わせれば
元のなめらかな音の周期関数が再生できるということです。

|
| *
| *
| * *
| ** *
| ******
| *******
| ********
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz

ふー、やっとここで標本化定理です。

まず、驚くべき事実をいっちゃいます。標本化では、周波数(sin/cosの
ほうでっせ)情報を失うようにおもわれますが、実際は逆なのです。
情報はうしなわれるどころか、おまけがついてきます。

ここでは、20KHzまでのsin/cosを残したいので、44KHzで標本を
取った場合(想像してください。元の音のなめからな曲線を44K個
の箇所でとったパルス上の棒グラフとすることです。)

すると、その44K個のパルス上の棒グラフを周波数スペクトル分析
(FFT)にかけるとどうなるでしょうか?

そう、下記になるのです!! 

|
| *...............* *
| *...............* *
| * *...............* ** * *
| ** *...............* **** *
| ******...........************
| *******.........**************
| ********.......****************
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz      44Khz 
             (44Khzのところを中心に
              もとの周波数スペクトルの反転パターンを      
              背中合わせにしたパターンが現れます)


標本化を44Khzと、20Khzの2倍よりはちょっと多めにしたのは
上記図で、もとのなめらかな周期関数を再生するのに十分な
周波数のかたまりと、標本化でできる余分な周波数のかたまりの
間に隙間ができるようにするためです。 そう、これがエイリアシング
(Aliasing: Alias->"別名"というのが元の意味。)を防ぐということです。

もし、30Khzとかの20Khzの2倍以下の標本化をしてしまうと
下記図のようにAliasingが発生するわけです。こうなると
次にのべる再生方法では、もとの周期関数の再生は不可となることが
わかるでしょう。

|
| *........* *
| *........* *
| * *......* ** * *
| ** *......* **** *
| ******..************
| *********************
| *********************
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz  30Khz    44Khz 


うーん、最後の説明の再生方法なんですが、これも想像してもらうしか
ないです。 なんせ連続曲線図が書けないもので。

もう、おわかりでしょう、先にも書きましたが、もとのなめらかな
周期関数曲線を得るには、標本化で得られた20Khz以下のパターンだけを
取り出せばいいわけです。 そう、20Khzまでは100%素通りさせ、20Khz
以降の周波数はカットしてしまうフィルターを通せば良いのです。
(そんな理想的なフィルターは工学的にはできないそうですが)

んで、なんで2倍なのか、3、4倍でもいいじゃないかという質問の
答えは、 2倍で十分な情報がとれるのに、そんな無駄な! ということ
です。 高周波装置ってつくるのが難しいらしいですからね。

おわり。 (一気に書いて、見直しはしておりません。あしからず。
      是非、バイブルをお読みくださいませ)

sin,cos もちゃんと習ったし、フーリエ展開ってのもわかった(つもり :-)、
だけど、周波数て結局何なんだ?、標本化定理の式は何を意味して
いるんだろう? というのが貴方の質問かと思います。
(小生も、理系の大学を出たものの、下記本に出会うまでは
 ちいとも理解していないことに気がついたのです。)

講談社 ブルーバックス
ディジタル・オーディオの謎を解く  天外伺朗 著
ISBN4-06 13268005 C0255 P600E

を読めば、目から鱗がとれること、請け合いです!!

残念ながら、今現在はAm...続きを読む


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