双曲線上のフック

Question

双曲線上において等間隔、左右対称
 且つ、双曲線面に鉛直になるように
 フックが幾つか配置されている
 と、します。

紐を用意し
 此等フックに掛けます。

加えて
 棒も用意し
 同一双曲線上で
 左右対称になるよう
 上記の紐と括ります。

棒に対して
 変形しない範囲で
 荷重を掛けた時、

紐がフックに及ぼす力は
 不均一ですか？
 それとも均一ですか？

解説を交え
 ご教示頂ければ幸いです。

どうぞ宜しくお願いします。

P.S.
例として
10kgの物を
耐荷重1kgのフック
十数個で支える
此を目指します。

stomachman · Accepted Answer

ANo.5へのコメントについて。

ANo.5の回答は、もちろん材料力学の常識的な仮定である、微小変形の場合についての話です。
　もしフックを柔らかい物に取り付ければ、当然、荷重によってフックの向きが大きく変わります。これはフックの並べ方が半円だろうが双曲線だろうが同じこと。計算だの、目で見るだの、質問者氏の感覚だの、そんな話以前の、全く自明のことです。
　目に見えるほどの変形が生じる場合、半円形に等間隔でフックを並べると、フックの先端は（曲がる前に比べて半径は小さくなるものの）概ね半円状に並んだままです。ここに「概ね」が付くのは、紐が棒に括り付けてある所の棒上での位置が動かないため。
　もし棒なんかなければ、話が分かり易くなります。すなわち、円周上に等間隔でフックを並べ、その先端に紐を掛けておいて、紐の長さを短くする、という場合を考える。すると、全てのフックの先端は円の中心に向かって同量だけ曲げられ、従って、フックの先端は（元よりも半径が小さい）円周上に並んだままです(添付の図を参照方）。この場合、「概ね」は付きません。

stomachman · Answer

やっとこさ図を出してもらえた…これまでのご説明のうち、この図と矛盾する記述は無視すれば良いでしょうね。
　この図に加えて、ANo.4氏のご推察に従って
● フックは図の平面に垂直であって、どれも長さが同じである
ということだと解釈しましょう。（それが正しい解釈かどうかについて、質問者氏はまだ明言していないようですが。）
　また、荷重がどこに掛かるかが図には描かれていない。しょうがないんで、ま、棒の中央に荷重を掛けるのだと思う事にしましょう。さらに、（紐はフックに縛り付けてなくて、従って）紐の張力が至る所同じなのだ、ということにしましょう。

もし以上のようにご質問を解釈するのが適切であれば、回答は以下の通りです：
　この回答に添付した図は紐（緑）がフックに掛かっているところで折れ曲がっている部分だけを示したものです。フックに掛かっている点において紐がどれだけ折れ曲がっているか、その角度θが大きいほど、フックの先端に掛かる力が大きい。（定量的には、紐の張力をTとすると、フックの先端に掛かる力の大きさFは
　　F = 2Tsin(θ/2)
になる。そして、フックに掛かる曲げモーメントの大きさは、Fをフックの長さで割ったものです。）ですから、たとえば円弧上にフックを等間隔に並べれば、どのフックに掛かる力も大きさが同じになります。
　フックの個数が無限に多い極限では、フックに掛かる力の大きさは、その点における曲線の曲率だけで決まります。なので、どのフックでも力の大きさが同じになるような曲線の形は円弧です。双曲線だと、曲率が大きい部分（つまり、図の真ん中の一番高い部分）に一番大きな力が掛かることになります。

もちろん、以上の話がご質問の意図とは異なるのであれば、違いを明確にするよう説明をお願いします。
　（なお、ANo.3へのコメントについて、「川に沿った散歩道」と聞いて「川の中をずぶずぶ散歩するんだな」と思う人以外にとっては、ANo.3の図の紐は双曲線に沿っています。）

noname_deadbeef · Answer

私も最初にフックと聞いて
根元があって、長さがあって、ぶらぶらしているやつを想像したのですが、
「鉛直？って外側に？内側に？ぶらぶらはしていないってこと？」
（中略）
つらつら考えてみるに、壁（双曲線が書いてある）に釘を真っ直ぐに突き立てろ、という意味なのではないかと気づいたのです。

フックが曲がるのがいやなら画ビョウを使えばいいのに。そしてなぜ壁（フックの根元）に双曲線を書くかな。フックのひもがかかる所が双曲線上に来るようにフックを取り付ける、でいいのに。

聞き手は「二次元で済みそうな問題の説明は二次元の範囲で行われる」ものと思っていますし、そうでなくても三次元目が出てくると言葉による説明は百倍難しくなります。

「物理の教科書のような標準的な説明を心掛けろ、でなければ図解を拒否すんな」

というような予想は六割方外れるので、解答編はすべてのなぞが解けてからにしましょう。図解お願いしますね。

stomachman · Answer

> この程度で
 > 挫けるとでも？

何か勘違いなさってるんではありませんかね。攻撃してる訳じゃありません。単に、説明が分からんと言っているんです。

> フックはお示し頂いた図からして
 > こんな感じです。

「こんな」って一体どんな？第一、「感じ」じゃ計算になりませんよ。

> 此の双曲線がなす面から
 > 逸脱しない位置に
 > 配してしてくださいね。

「此の双曲線がなす面」って一体何の事でしょうか？もし「この双曲線が存在している平面」のことを指しているのなら、それはANo.2の図の平面そのものですから、ANo.2の図のフックは全部この平面上にあるわけで、ANo.2の図のフックの配置は文句ないんでしょうかね。
　で、フックの長さについては何も指定しないんですか？しょうがないんで、フックはどれも同じ長さだと仮定しましょうか。

> 紐はこんなではなく
 > 割合双曲線に沿う感じで

端にあるフックから順に紐を引っかけるということでしょうかね。

> 棒を割合、
 > と、いっても
 > ほぼ、又は全く正しく水平に

「割合」だの「ほぼ」だのは無視しますと、要するに
(1) 棒は水平である。
という事ですかね？

> 且つ、 
> 此の双曲線の 
> 焦点を結んだ延長線上

「焦点を結んだ延長線」とは一体、焦点と何とを結ぶのかが不明です。もしかして、双曲線の二つの焦点を通る直線ということかな？だとするとこの直線は鉛直である。

> 此に対する鉛直線に沿う形で

「此」が上記の「双曲線の二つの焦点を通る直線」を指すのであれば、この直線自体が既に鉛直（重力の方向を向いている）。「 此に対する鉛直線」は意味不明です。
　あるいは、もしかして、またしても「鉛直」と「垂直」を混同なさってるのかな？（両者の違いはANo.2に説明した通りです。良く読んで憶えて下さい。）そうだとすると、単に
(1)棒は水平である
ということを再び言っているだけ？

> フック群に対し　そうは離れない 
> 全てのフックの下の位置に

何だかよく分からんが、
(2) どのフックよりも下に棒がある。
ということらしい。ま、さして意味のある記述ではなさそうなんで、無視しましょうか。

> 且つ、 
> 此の双曲線の
 > 結んだ延長線上に

双曲線が延長線を結ぶ、って、一体全体どういう意味でしょうか？？これは全然分からない。しょうがないから無視です。

> 棒の重心が沿うように

（何かの線に）重心が沿う、という表現はまるで意味不明。無視するしかありません。

> 且つ、
 > 此の双曲線がなす面から > 逸脱しないように 
> 配します。

「此の双曲線がなす面」ってのは、この双曲線が存在している面、つまりANo.2の図の平面のことですよね？ならば、
(3) 棒はこの図の平面上にある。
という意味でしょうかね。

> 余談ですが、

余談は無視します。何言ってるのかさっぱり分からんですし。

> 先ほど仮に垂らした紐を
 > 棒と双曲線が交わる位置で 
> 棒と括ります。

これは分かります。

以上を勘案したのが、この回答の図です。

> 此の棒に荷重を掛けた

棒のどこに荷重を掛けるかを指定しないと駄目ですが、ま、真ん中に掛けるとしましょうか。

で、元のご質問に戻ると、

> 紐がフックに及ぼす力は
> 不均一ですか？
> それとも均一ですか？

（「均一」の意味が不明確です。フックの先端に掛かる力の大きさのことなのか、その力がたとえばフックを曲げようとするモーメントの大きさのことなのか。しかしながら、）フックに紐が掛けてある（フックに紐がくくりつけてある訳ではない）ということは、紐に掛かる張力は至る所同じだと仮定する（というのが材料力学における暗黙の了解であり、）ならば、明らかに、両端のフックに掛かる紐の力が著しくアンバランスですから、過大な荷重が掛かればこれら二つのフックがまず屈して（内側へ）曲がるだろうことは、計算なんかしなくたって容易に分かります。
　しかし、こういう話ならわざわざ双曲線なんか持ち出すまでもないわけで、ということは、この回答の図もまた、本来意図なさっているものとは違うんじゃないでしょうか。（だから図を付けて欲しいと申し上げてるですけどね～）

stomachman · Answer

ANo.1へのコメントについてです。

なんのこっちゃら、全然分かりません。

どのぐらい全然分からんのかご理解戴くために、ご説明に完全に合致している解釈の一例の図を添付します。もちろん、ご質問がこんな図の話であるわけがないんですが、しかし、こういう解釈ができる説明しかなさっていない。
　ご説明が全然伝わらんのを図で補って戴きたいのであって、もちろん、正確に作図する必要などありません。図の添付は手書きでできるはず。

> フックが双曲線に対し 
> 鉛直になるようにします

1「鉛直」とは、重力の方向、という意味であり、言い換えれば水平面に対して垂直という意味ですから、「双曲線に対し鉛直」なんてことはあり得ません。（だから、正しくは単に「鉛直」なのかなと考えて、ANo.1では吊り橋や首吊りの図を出したんですが、どうもそうではないらしい。だとすると）「双曲線に対し垂直」の間違いではないですか？

2 仮に「フックが双曲線に対し垂直」だとしても、それが「垂直」だと言えるためには、フックに長さがあることが絶対に必要です。しかし、その長さが記載されていない。長さは勝手に決めたてんでばらばらで良いということ？（それでは話にならんでしょう。）

> 配置したフックに一本の、 
> 一筋だけの紐を掛けます。

幾つかのフックに「掛ける」ということが分らないっすね。

3 全てのフックの先端を通るように1本の紐を掛けるんでしょうか？紐はフックの先端に掛かっているんですか？

4 全てのフックの先端を通るように1本の紐を掛ける紐の掛け方は、無数にあります。どう掛けるんでしょう？

> 此の今フックに掛けた紐に 
> 直接棒を括ります。 
> 括る位置は双曲線上です。

紐がフックの先端に掛かっているのであれば、紐が双曲線上に来るとは限らないわけですが…

5 紐の一体どこに棒を括るんですか？「たまたま紐が双曲線と交差する点」に棒を括り付けるのですか？

6 棒の一箇所だけに紐を括り付けるんでしょうか？紐が複数の点で双曲線と交差するかも知れませんが。

> 今の棒に荷重を掛けます。

7 棒の一体どこに荷重を掛けるんでしょうか?

stomachman · Answer

ご質問の状況がよく分からんので図を示していただけないでしょうか。（たしか、質問には後からでも図が追加できるはずです。）まるで吊り橋のように、空中に架けられた曲線の途中からいっぱい紐が出ていて、その紐が鉛直に垂れ下がったところに水平な棒がくっついている、というイメージですかね。それとも、「双曲線面に鉛直になるように」紐がてんでな方向を向いているということでしょうか。

ついでに吊り橋の話をしておこうかな。あの曲線は放物線です。紐が等間隔で垂れ下がっている。つまり、曲線に沿って見ると紐は不等間隔で取り付けられています。そして、どの紐にも同じ荷重（紐1本当たりの道路の質量）が掛かっています。また、漱石の「我が輩は猫である」に出て来る「遊女の首吊り」の話は、長いロープに等間隔に取り付けた紐で沢山の遊女が一斉に首を吊る。紐はロープの曲線に沿って等間隔に取り付けられ、どの紐にも同じ荷重（遊女の体重）が掛かっている。この場合には、ロープの曲線は懸垂線になります。

双曲線上のフック

ANo.5へのコメントについて。

やっとこさ図を出してもらえた…これまでのご説明のうち、この図と矛盾する記述は無視すれば良いでしょうね。

私も最初にフックと聞いて

> この程度で

ANo.1へのコメントについてです。

ご質問の状況がよく分からんので図を示していただけないでしょうか。

この回答への補足

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