ε-N論法について

Question

先ほど数学の極限の問題を解いていて
分からないところがありましたので質問しにきました。
ε-N論法を用いる大学1年生の数学の教科書にあった問題です。

「an＝１/nの数列がｎ→∞のときに0に収束することを証明し、
さらに、ε＝１０＾－３のとき対応するNの値を求めよ」という問題で、
証明の方はできたのですが、Nの値を求める方の答えがしっくりきません。

自分の出した値はN＝1001なのですが、教科書にはN＝1000とあります。
N＞１/εとなったのでN＞1000よってN＝1001ではないのでしょうか？
Nが1000だとｎ≧Nなのでｎ＝1000のとき｜１/n-0｜＜εより0.001＜0.001と
なってしまうので間違っていると思うのですが…

それともε-N論法はｎ≧Nではなくｎ＞Nなのでしょうか？
これだと、すっきりいくのですが…
参考書にはｎ≧Nで、教科書にはｎ＞Nで書いてあります。
正直こんがらがって頭が痛いです(泣)

この様な質問をネット上でするのは今回が初めてですので、
見にくい所が多々あると思いますが、どうかよろしくお願いいたします。

gomagoma427 · Accepted Answer

ε-N論法は　ｎ≧N　でも　n＞N　でもどちらを使っても良いです。

どちらでもＮの選択に変わりがないという意味ではありません。どちらを使っても議論の本質には変わりはないということです。等号を使うか、不等号を使うかによってもちろんＮの値は変わります。

教科書ではn＞Nとしているため、Ｎ＝１０００で議論が成立しているのです。別に参考書や教科書によって違うというわけではなく、単に等号・不等号の違いなので、ｎ≧Nを議論の中で使ったのであればN=1001を使わなければなりません。

どちらか片方を使わなければいけないというわけではないですし、どちらかに統一しなければいけないというものでもありません。そのときの気分でどっちを使っても良いものです。センター試験の穴埋め問題ではありませんので、Ｎがひとつしか選びようがないわけではないのですし。

ε-N論法は ｎ≧N でも n＞N でもどちらを使っても良いです。